Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56719 / 9276
↖ ↑ ↗
← N 77.993620°
E131.566773°		 ← 127.06 m → N 77.993620°
E131.572266°		 →
↑
127.10 m
↓
↑
127.10 m
↓
N 77.992477°
E131.566773°		 ← 127.07 m →
16 150 m²		 N 77.992477°
E131.572266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865470886230469 y=0.141548156738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865470886230469 × 216)
    floor (0.865470886230469 × 65536)
    floor (56719.5)     		tx = 56719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141548156738281 × 216)
    floor (0.141548156738281 × 65536)
    floor (9276.5)     		ty = 9276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56719 / 9276 ti = "16/56719/9276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56719/9276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56719 ÷ 216
    56719 ÷ 65536     		x = 0.865463256835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9276 ÷ 216
    9276 ÷ 65536     		y = 0.14154052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.865463256835938 × 2 - 1) × π
    0.730926513671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.29627337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14154052734375 × 2 - 1) × π
    0.7169189453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.25226729174872
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29627337} λ = 2.29627337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25226729174872))-π/2
    2×atan(9.50927170635887)-π/2
    2×1.46602089782055-π/2
    2.9320417956411-1.57079632675     		φ = 1.36124547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29627337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.566773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36124547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.993620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56719 KachelY 9276 2.29627337 1.36124547 131.566773 77.993620
    Oben rechts KachelX + 1 56720 KachelY 9276 2.29636924 1.36124547 131.572266 77.993620
    Unten links KachelX 56719 KachelY + 1 9277 2.29627337 1.36122552 131.566773 77.992477
    Unten rechts KachelX + 1 56720 KachelY + 1 9277 2.29636924 1.36122552 131.572266 77.992477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36124547-1.36122552) × R
    1.99499999999908e-05 × 6371000     		dl = 127.101449999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36124547-1.36122552) × R
    1.99499999999908e-05 × 6371000     		dr = 127.101449999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29627337-2.29636924) × cos(1.36124547) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.208020602894872 × 6371000     		do = 127.056440156211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29627337-2.29636924) × cos(1.36122552) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.20804011643614 × 6371000     		du = 127.068358788568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36124547)-sin(1.36122552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208020602894872-0.20804011643614)×R²
    abs(2.29636924-2.29627337)×1.9513541268501e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.9513541268501e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.9513541268501e-05×40589641000000     		ar = 16149.8152139272m²