Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56717 / 44087
↖ ↑ ↗
← N 50.640752°
W 24.222107°		 ← 193.70 m → N 50.640752°
W 24.219360°		 →
↑
193.68 m
↓
↑
193.68 m
↓
N 50.639010°
W 24.222107°		 ← 193.70 m →
37 515 m²		 N 50.639010°
W 24.219360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432720184326172 y=0.336360931396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432720184326172 × 217)
    floor (0.432720184326172 × 131072)
    floor (56717.5)     		tx = 56717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336360931396484 × 217)
    floor (0.336360931396484 × 131072)
    floor (44087.5)     		ty = 44087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56717 / 44087 ti = "17/56717/44087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56717/44087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56717 ÷ 217
    56717 ÷ 131072     		x = 0.432716369628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44087 ÷ 217
    44087 ÷ 131072     		y = 0.336357116699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432716369628906 × 2 - 1) × π
    -0.134567260742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.42275552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336357116699219 × 2 - 1) × π
    0.327285766601562 × 3.1415926535     		Φ = 1.02819855995058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42275552} λ = -0.42275552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02819855995058))-π/2
    2×atan(2.79602442478562)-π/2
    2×1.22732209367865-π/2
    2.4546441873573-1.57079632675     		φ = 0.88384786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42275552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.222107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88384786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.640752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56717 KachelY 44087 -0.42275552 0.88384786 -24.222107 50.640752
    Oben rechts KachelX + 1 56718 KachelY 44087 -0.42270758 0.88384786 -24.219360 50.640752
    Unten links KachelX 56717 KachelY + 1 44088 -0.42275552 0.88381746 -24.222107 50.639010
    Unten rechts KachelX + 1 56718 KachelY + 1 44088 -0.42270758 0.88381746 -24.219360 50.639010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88384786-0.88381746) × R
    3.0399999999986e-05 × 6371000     		dl = 193.678399999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88384786-0.88381746) × R
    3.0399999999986e-05 × 6371000     		dr = 193.678399999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42275552--0.42270758) × cos(0.88384786) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.634180739381807 × 6371000     		do = 193.695121619308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42275552--0.42270758) × cos(0.88381746) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.634204243907759 × 6371000     		du = 193.702300506541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88384786)-sin(0.88381746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634180739381807-0.634204243907759)×R²
    abs(-0.42270758--0.42275552)×2.35045259523448e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35045259523448e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35045259523448e-05×40589641000000     		ar = 37515.2564436679m²