Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56715 / 42376
↖ ↑ ↗
← N 53.527248°
W 24.227600°		 ← 181.56 m → N 53.527248°
W 24.224853°		 →
↑
181.57 m
↓
↑
181.57 m
↓
N 53.525615°
W 24.227600°		 ← 181.56 m →
32 967 m²		 N 53.525615°
W 24.224853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432704925537109 y=0.323307037353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432704925537109 × 217)
    floor (0.432704925537109 × 131072)
    floor (56715.5)     		tx = 56715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323307037353516 × 217)
    floor (0.323307037353516 × 131072)
    floor (42376.5)     		ty = 42376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56715 / 42376 ti = "17/56715/42376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56715/42376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56715 ÷ 217
    56715 ÷ 131072     		x = 0.432701110839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42376 ÷ 217
    42376 ÷ 131072     		y = 0.32330322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432701110839844 × 2 - 1) × π
    -0.134597778320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.42285139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32330322265625 × 2 - 1) × π
    0.3533935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.1102185952005
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42285139} λ = -0.42285139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1102185952005))-π/2
    2×atan(3.03502176311926)-π/2
    2×1.25251152169289-π/2
    2.50502304338577-1.57079632675     		φ = 0.93422672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42285139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.227600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93422672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.527248°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56715 KachelY 42376 -0.42285139 0.93422672 -24.227600 53.527248
    Oben rechts KachelX + 1 56716 KachelY 42376 -0.42280345 0.93422672 -24.224853 53.527248
    Unten links KachelX 56715 KachelY + 1 42377 -0.42285139 0.93419822 -24.227600 53.525615
    Unten rechts KachelX + 1 56716 KachelY + 1 42377 -0.42280345 0.93419822 -24.224853 53.525615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93422672-0.93419822) × R
    2.84999999999869e-05 × 6371000     		dl = 181.573499999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93422672-0.93419822) × R
    2.84999999999869e-05 × 6371000     		dr = 181.573499999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42285139--0.42280345) × cos(0.93422672) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.594440429146774 × 6371000     		do = 181.557407957952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42285139--0.42280345) × cos(0.93419822) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.59446334688537 × 6371000     		du = 181.564407625222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93422672)-sin(0.93419822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594440429146774-0.59446334688537)×R²
    abs(-0.42280345--0.42285139)×2.29177385957513e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29177385957513e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29177385957513e-05×40589641000000     		ar = 32966.6494931737m²