Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56713 / 42381
↖ ↑ ↗
← N 53.519084°
W 24.233094°		 ← 181.59 m → N 53.519084°
W 24.230347°		 →
↑
181.57 m
↓
↑
181.57 m
↓
N 53.517451°
W 24.233094°		 ← 181.60 m →
32 973 m²		 N 53.517451°
W 24.230347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432689666748047 y=0.323345184326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432689666748047 × 217)
    floor (0.432689666748047 × 131072)
    floor (56713.5)     		tx = 56713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323345184326172 × 217)
    floor (0.323345184326172 × 131072)
    floor (42381.5)     		ty = 42381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56713 / 42381 ti = "17/56713/42381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56713/42381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56713 ÷ 217
    56713 ÷ 131072     		x = 0.432685852050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42381 ÷ 217
    42381 ÷ 131072     		y = 0.323341369628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432685852050781 × 2 - 1) × π
    -0.134628295898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.42294727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323341369628906 × 2 - 1) × π
    0.353317260742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.1099789107024
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42294727} λ = -0.42294727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1099789107024))-π/2
    2×atan(3.03429440262324)-π/2
    2×1.2524402757491-π/2
    2.5048805514982-1.57079632675     		φ = 0.93408422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42294727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.233094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93408422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.519084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56713 KachelY 42381 -0.42294727 0.93408422 -24.233094 53.519084
    Oben rechts KachelX + 1 56714 KachelY 42381 -0.42289933 0.93408422 -24.230347 53.519084
    Unten links KachelX 56713 KachelY + 1 42382 -0.42294727 0.93405572 -24.233094 53.517451
    Unten rechts KachelX + 1 56714 KachelY + 1 42382 -0.42289933 0.93405572 -24.230347 53.517451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93408422-0.93405572) × R
    2.84999999999869e-05 × 6371000     		dl = 181.573499999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93408422-0.93405572) × R
    2.84999999999869e-05 × 6371000     		dr = 181.573499999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42294727--0.42289933) × cos(0.93408422) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.594555013011038 × 6371000     		do = 181.592404819487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42294727--0.42289933) × cos(0.93405572) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.594577928335184 × 6371000     		du = 181.599403749321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93408422)-sin(0.93405572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594555013011038-0.594577928335184)×R²
    abs(-0.42289933--0.42294727)×2.29153241454449e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29153241454449e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29153241454449e-05×40589641000000     		ar = 32973.0039287633m²