Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56712 / 84369
↖ ↑ ↗
← S 45.861325°
W 24.235840°		 ← 212.65 m → S 45.861325°
W 24.233094°		 →
↑
212.66 m
↓
↑
212.66 m
↓
S 45.863238°
W 24.235840°		 ← 212.65 m →
45 223 m²		 S 45.863238°
W 24.233094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432682037353516 y=0.643688201904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432682037353516 × 217)
    floor (0.432682037353516 × 131072)
    floor (56712.5)     		tx = 56712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643688201904297 × 217)
    floor (0.643688201904297 × 131072)
    floor (84369.5)     		ty = 84369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56712 / 84369 ti = "17/56712/84369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56712/84369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56712 ÷ 217
    56712 ÷ 131072     		x = 0.43267822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84369 ÷ 217
    84369 ÷ 131072     		y = 0.643684387207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43267822265625 × 2 - 1) × π
    -0.1346435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42299520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643684387207031 × 2 - 1) × π
    -0.287368774414062 × 3.1415926535     		Φ = -0.902795630544518
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42299520} λ = -0.42299520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.902795630544518))-π/2
    2×atan(0.405434628484619)-π/2
    2×0.385182604223184-π/2
    0.770365208446369-1.57079632675     		φ = -0.80043112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42299520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.235840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80043112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.861325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56712 KachelY 84369 -0.42299520 -0.80043112 -24.235840 -45.861325
    Oben rechts KachelX + 1 56713 KachelY 84369 -0.42294727 -0.80043112 -24.233094 -45.861325
    Unten links KachelX 56712 KachelY + 1 84370 -0.42299520 -0.80046450 -24.235840 -45.863238
    Unten rechts KachelX + 1 56713 KachelY + 1 84370 -0.42294727 -0.80046450 -24.233094 -45.863238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80043112--0.80046450) × R
    3.33799999999718e-05 × 6371000     		dl = 212.66397999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80043112--0.80046450) × R
    3.33799999999718e-05 × 6371000     		dr = 212.66397999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42299520--0.42294727) × cos(-0.80043112) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.696397378052332 × 6371000     		do = 212.653317048868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42299520--0.42294727) × cos(-0.80046450) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.696373422294119 × 6371000     		du = 212.64600186991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80043112)-sin(-0.80046450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.696397378052332-0.696373422294119)×R²
    abs(-0.42294727--0.42299520)×2.39557582124572e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39557582124572e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39557582124572e-05×40589641000000     		ar = 45222.9229304309m²