Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56710 / 44265
↖ ↑ ↗
← N 50.329683°
W 24.241333°		 ← 194.97 m → N 50.329683°
W 24.238586°		 →
↑
194.95 m
↓
↑
194.95 m
↓
N 50.327930°
W 24.241333°		 ← 194.98 m →
38 011 m²		 N 50.327930°
W 24.238586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432666778564453 y=0.337718963623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432666778564453 × 217)
    floor (0.432666778564453 × 131072)
    floor (56710.5)     		tx = 56710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337718963623047 × 217)
    floor (0.337718963623047 × 131072)
    floor (44265.5)     		ty = 44265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56710 / 44265 ti = "17/56710/44265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56710/44265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56710 ÷ 217
    56710 ÷ 131072     		x = 0.432662963867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44265 ÷ 217
    44265 ÷ 131072     		y = 0.337715148925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432662963867188 × 2 - 1) × π
    -0.134674072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42309108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337715148925781 × 2 - 1) × π
    0.324569702148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.01966579181821
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42309108} λ = -0.42309108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01966579181821))-π/2
    2×atan(2.77226809444339)-π/2
    2×1.22460750356746-π/2
    2.44921500713491-1.57079632675     		φ = 0.87841868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42309108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.241333°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87841868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.329683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56710 KachelY 44265 -0.42309108 0.87841868 -24.241333 50.329683
    Oben rechts KachelX + 1 56711 KachelY 44265 -0.42304314 0.87841868 -24.238586 50.329683
    Unten links KachelX 56710 KachelY + 1 44266 -0.42309108 0.87838808 -24.241333 50.327930
    Unten rechts KachelX + 1 56711 KachelY + 1 44266 -0.42304314 0.87838808 -24.238586 50.327930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87841868-0.87838808) × R
    3.05999999999917e-05 × 6371000     		dl = 194.952599999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87841868-0.87838808) × R
    3.05999999999917e-05 × 6371000     		dr = 194.952599999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42309108--0.42304314) × cos(0.87841868) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.638369131873328 × 6371000     		do = 194.974364495667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42309108--0.42304314) × cos(0.87838808) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.638392685323953 × 6371000     		du = 194.981558325753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87841868)-sin(0.87838808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638369131873328-0.638392685323953)×R²
    abs(-0.42304314--0.42309108)×2.35534506249913e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35534506249913e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35534506249913e-05×40589641000000     		ar = 38011.4605226084m²