Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56708 / 44252
↖ ↑ ↗
← N 50.352471°
W 24.246826°		 ← 194.88 m → N 50.352471°
W 24.244079°		 →
↑
194.83 m
↓
↑
194.83 m
↓
N 50.350719°
W 24.246826°		 ← 194.89 m →
37 968 m²		 N 50.350719°
W 24.244079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432651519775391 y=0.337619781494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432651519775391 × 217)
    floor (0.432651519775391 × 131072)
    floor (56708.5)     		tx = 56708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337619781494141 × 217)
    floor (0.337619781494141 × 131072)
    floor (44252.5)     		ty = 44252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56708 / 44252 ti = "17/56708/44252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56708/44252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56708 ÷ 217
    56708 ÷ 131072     		x = 0.432647705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44252 ÷ 217
    44252 ÷ 131072     		y = 0.337615966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432647705078125 × 2 - 1) × π
    -0.13470458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42318695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337615966796875 × 2 - 1) × π
    0.32476806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02028897151328
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42318695} λ = -0.42318695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02028897151328))-π/2
    2×atan(2.77399625405017)-π/2
    2×1.22480636520378-π/2
    2.44961273040755-1.57079632675     		φ = 0.87881640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42318695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.246826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87881640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.352471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56708 KachelY 44252 -0.42318695 0.87881640 -24.246826 50.352471
    Oben rechts KachelX + 1 56709 KachelY 44252 -0.42313901 0.87881640 -24.244079 50.352471
    Unten links KachelX 56708 KachelY + 1 44253 -0.42318695 0.87878582 -24.246826 50.350719
    Unten rechts KachelX + 1 56709 KachelY + 1 44253 -0.42313901 0.87878582 -24.244079 50.350719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87881640-0.87878582) × R
    3.05800000000023e-05 × 6371000     		dl = 194.825180000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87881640-0.87878582) × R
    3.05800000000023e-05 × 6371000     		dr = 194.825180000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42318695--0.42313901) × cos(0.87881640) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.638062944227328 × 6371000     		do = 194.880846907308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42318695--0.42313901) × cos(0.87878582) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.63808649004604 × 6371000     		du = 194.888038406412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87881640)-sin(0.87878582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638062944227328-0.63808649004604)×R²
    abs(-0.42313901--0.42318695)×2.35458187118898e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35458187118898e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35458187118898e-05×40589641000000     		ar = 37968.3966229458m²