Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56706 / 42626
↖ ↑ ↗
← N 53.117108°
W 24.252319°		 ← 183.27 m → N 53.117108°
W 24.249573°		 →
↑
183.29 m
↓
↑
183.29 m
↓
N 53.115460°
W 24.252319°		 ← 183.28 m →
33 593 m²		 N 53.115460°
W 24.249573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432636260986328 y=0.325214385986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432636260986328 × 217)
    floor (0.432636260986328 × 131072)
    floor (56706.5)     		tx = 56706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325214385986328 × 217)
    floor (0.325214385986328 × 131072)
    floor (42626.5)     		ty = 42626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56706 / 42626 ti = "17/56706/42626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56706/42626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56706 ÷ 217
    56706 ÷ 131072     		x = 0.432632446289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42626 ÷ 217
    42626 ÷ 131072     		y = 0.325210571289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432632446289062 × 2 - 1) × π
    -0.134735107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42328282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325210571289062 × 2 - 1) × π
    0.349578857421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.09823437029549
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42328282} λ = -0.42328282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09823437029549))-π/2
    2×atan(2.99886645908859)-π/2
    2×1.24893237974704-π/2
    2.49786475949407-1.57079632675     		φ = 0.92706843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42328282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.252319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92706843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.117108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56706 KachelY 42626 -0.42328282 0.92706843 -24.252319 53.117108
    Oben rechts KachelX + 1 56707 KachelY 42626 -0.42323489 0.92706843 -24.249573 53.117108
    Unten links KachelX 56706 KachelY + 1 42627 -0.42328282 0.92703966 -24.252319 53.115460
    Unten rechts KachelX + 1 56707 KachelY + 1 42627 -0.42323489 0.92703966 -24.249573 53.115460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92706843-0.92703966) × R
    2.87700000000113e-05 × 6371000     		dl = 183.293670000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92706843-0.92703966) × R
    2.87700000000113e-05 × 6371000     		dr = 183.293670000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42328282--0.42323489) × cos(0.92706843) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.600181414969895 × 6371000     		do = 183.272615243592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42328282--0.42323489) × cos(0.92703966) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.600204426806097 × 6371000     		du = 183.279642184608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92706843)-sin(0.92703966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600181414969895-0.600204426806097)×R²
    abs(-0.42323489--0.42328282)×2.30118362014586e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30118362014586e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30118362014586e-05×40589641000000     		ar = 33593.3542577463m²