Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56706 / 30082
↖ ↑ ↗
← N 69.285314°
W 24.252319°		 ← 108.01 m → N 69.285314°
W 24.249573°		 →
↑
107.99 m
↓
↑
107.99 m
↓
N 69.284343°
W 24.252319°		 ← 108.02 m →
11 664 m²		 N 69.284343°
W 24.249573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432636260986328 y=0.229511260986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432636260986328 × 217)
    floor (0.432636260986328 × 131072)
    floor (56706.5)     		tx = 56706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229511260986328 × 217)
    floor (0.229511260986328 × 131072)
    floor (30082.5)     		ty = 30082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56706 / 30082 ti = "17/56706/30082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56706/30082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56706 ÷ 217
    56706 ÷ 131072     		x = 0.432632446289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30082 ÷ 217
    30082 ÷ 131072     		y = 0.229507446289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432632446289062 × 2 - 1) × π
    -0.134735107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42328282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229507446289062 × 2 - 1) × π
    0.540985107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.69955483912947
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42328282} λ = -0.42328282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69955483912947))-π/2
    2×atan(5.47151114684175)-π/2
    2×1.39002658990871-π/2
    2.78005317981742-1.57079632675     		φ = 1.20925685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42328282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.252319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20925685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.285314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56706 KachelY 30082 -0.42328282 1.20925685 -24.252319 69.285314
    Oben rechts KachelX + 1 56707 KachelY 30082 -0.42323489 1.20925685 -24.249573 69.285314
    Unten links KachelX 56706 KachelY + 1 30083 -0.42328282 1.20923990 -24.252319 69.284343
    Unten rechts KachelX + 1 56707 KachelY + 1 30083 -0.42323489 1.20923990 -24.249573 69.284343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20925685-1.20923990) × R
    1.69500000000156e-05 × 6371000     		dl = 107.988450000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20925685-1.20923990) × R
    1.69500000000156e-05 × 6371000     		dr = 107.988450000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42328282--0.42323489) × cos(1.20925685) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.353714606705538 × 6371000     		do = 108.011010344321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42328282--0.42323489) × cos(1.20923990) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.353730460894802 × 6371000     		du = 108.015851611739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20925685)-sin(1.20923990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353714606705538-0.353730460894802)×R²
    abs(-0.42323489--0.42328282)×1.58541892643083e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.58541892643083e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.58541892643083e-05×40589641000000     		ar = 11664.2029907222m²