Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56704 / 9275
↖ ↑ ↗
← N 77.994763°
E131.484375°		 ← 127.04 m → N 77.994763°
E131.489868°		 →
↑
127.04 m
↓
↑
127.04 m
↓
N 77.993620°
E131.484375°		 ← 127.06 m →
16 140 m²		 N 77.993620°
E131.489868°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865242004394531 y=0.141532897949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865242004394531 × 216)
    floor (0.865242004394531 × 65536)
    floor (56704.5)     		tx = 56704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141532897949219 × 216)
    floor (0.141532897949219 × 65536)
    floor (9275.5)     		ty = 9275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56704 / 9275 ti = "16/56704/9275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56704/9275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56704 ÷ 216
    56704 ÷ 65536     		x = 0.865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9275 ÷ 216
    9275 ÷ 65536     		y = 0.141525268554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.865234375 × 2 - 1) × π
    0.73046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.29483526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141525268554688 × 2 - 1) × π
    0.716949462890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.25236316554796
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29483526} λ = 2.29483526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25236316554796))-π/2
    2×atan(9.51018344007035)-π/2
    2×1.46603086921582-π/2
    2.93206173843163-1.57079632675     		φ = 1.36126541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29483526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.484375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36126541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.994763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56704 KachelY 9275 2.29483526 1.36126541 131.484375 77.994763
    Oben rechts KachelX + 1 56705 KachelY 9275 2.29493113 1.36126541 131.489868 77.994763
    Unten links KachelX 56704 KachelY + 1 9276 2.29483526 1.36124547 131.484375 77.993620
    Unten rechts KachelX + 1 56705 KachelY + 1 9276 2.29493113 1.36124547 131.489868 77.993620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36126541-1.36124547) × R
    1.99399999998295e-05 × 6371000     		dl = 127.037739998914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36126541-1.36124547) × R
    1.99399999998295e-05 × 6371000     		dr = 127.037739998914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29483526-2.29493113) × cos(1.36126541) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.208001099052096 × 6371000     		do = 127.044527447576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29483526-2.29493113) × cos(1.36124547) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.208020602894872 × 6371000     		du = 127.056440156211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36126541)-sin(1.36124547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208001099052096-0.208020602894872)×R²
    abs(2.29493113-2.29483526)×1.95038427751315e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.95038427751315e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.95038427751315e-05×40589641000000     		ar = 16140.2063283515m²