Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56704 / 84368
↖ ↑ ↗
← S 45.859412°
W 24.257813°		 ← 212.71 m → S 45.859412°
W 24.255066°		 →
↑
212.73 m
↓
↑
212.73 m
↓
S 45.861325°
W 24.257813°		 ← 212.70 m →
45 247 m²		 S 45.861325°
W 24.255066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432621002197266 y=0.643680572509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432621002197266 × 217)
    floor (0.432621002197266 × 131072)
    floor (56704.5)     		tx = 56704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643680572509766 × 217)
    floor (0.643680572509766 × 131072)
    floor (84368.5)     		ty = 84368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56704 / 84368 ti = "17/56704/84368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56704/84368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56704 ÷ 217
    56704 ÷ 131072     		x = 0.4326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84368 ÷ 217
    84368 ÷ 131072     		y = 0.6436767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4326171875 × 2 - 1) × π
    -0.134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42337870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6436767578125 × 2 - 1) × π
    -0.287353515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.902747693644897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42337870} λ = -0.42337870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.902747693644897))-π/2
    2×atan(0.405454064229548)-π/2
    2×0.38519929607593-π/2
    0.77039859215186-1.57079632675     		φ = -0.80039773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42337870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.257813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80039773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.859412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56704 KachelY 84368 -0.42337870 -0.80039773 -24.257813 -45.859412
    Oben rechts KachelX + 1 56705 KachelY 84368 -0.42333076 -0.80039773 -24.255066 -45.859412
    Unten links KachelX 56704 KachelY + 1 84369 -0.42337870 -0.80043112 -24.257813 -45.861325
    Unten rechts KachelX + 1 56705 KachelY + 1 84369 -0.42333076 -0.80043112 -24.255066 -45.861325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80039773--0.80043112) × R
    3.3390000000022e-05 × 6371000     		dl = 212.72769000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80039773--0.80043112) × R
    3.3390000000022e-05 × 6371000     		dr = 212.72769000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42337870--0.42333076) × cos(-0.80039773) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.696421340210933 × 6371000     		do = 212.705003185823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42337870--0.42333076) × cos(-0.80043112) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.696397378052332 × 6371000     		du = 212.6976845258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80039773)-sin(-0.80043112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.696421340210933-0.696397378052332)×R²
    abs(-0.42333076--0.42337870)×2.39621586010097e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39621586010097e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39621586010097e-05×40589641000000     		ar = 45247.4655426052m²