Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56703 / 43983
↖ ↑ ↗
← N 50.821554°
W 24.260559°		 ← 192.91 m → N 50.821554°
W 24.257813°		 →
↑
192.98 m
↓
↑
192.98 m
↓
N 50.819818°
W 24.260559°		 ← 192.92 m →
37 228 m²		 N 50.819818°
W 24.257813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432613372802734 y=0.335567474365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432613372802734 × 217)
    floor (0.432613372802734 × 131072)
    floor (56703.5)     		tx = 56703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335567474365234 × 217)
    floor (0.335567474365234 × 131072)
    floor (43983.5)     		ty = 43983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56703 / 43983 ti = "17/56703/43983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56703/43983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56703 ÷ 217
    56703 ÷ 131072     		x = 0.432609558105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43983 ÷ 217
    43983 ÷ 131072     		y = 0.335563659667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432609558105469 × 2 - 1) × π
    -0.134780883789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.42342663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335563659667969 × 2 - 1) × π
    0.328872680664062 × 3.1415926535     		Φ = 1.03318399751107
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42342663} λ = -0.42342663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03318399751107))-π/2
    2×atan(2.80999863480515)-π/2
    2×1.22889988241368-π/2
    2.45779976482735-1.57079632675     		φ = 0.88700344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42342663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.260559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88700344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.821554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56703 KachelY 43983 -0.42342663 0.88700344 -24.260559 50.821554
    Oben rechts KachelX + 1 56704 KachelY 43983 -0.42337870 0.88700344 -24.257813 50.821554
    Unten links KachelX 56703 KachelY + 1 43984 -0.42342663 0.88697315 -24.260559 50.819818
    Unten rechts KachelX + 1 56704 KachelY + 1 43984 -0.42337870 0.88697315 -24.257813 50.819818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88700344-0.88697315) × R
    3.02899999999884e-05 × 6371000     		dl = 192.977589999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88700344-0.88697315) × R
    3.02899999999884e-05 × 6371000     		dr = 192.977589999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42342663--0.42337870) × cos(0.88700344) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.631737739344463 × 6371000     		do = 192.908718513954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42342663--0.42337870) × cos(0.88697315) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.631761219323209 × 6371000     		du = 192.915888407928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88700344)-sin(0.88697315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631737739344463-0.631761219323209)×R²
    abs(-0.42337870--0.42342663)×2.34799787461881e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34799787461881e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34799787461881e-05×40589641000000     		ar = 37227.7514061355m²