Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56703 / 30086
↖ ↑ ↗
← N 69.281427°
W 24.260559°		 ← 108.03 m → N 69.281427°
W 24.257813°		 →
↑
108.05 m
↓
↑
108.05 m
↓
N 69.280456°
W 24.260559°		 ← 108.04 m →
11 673 m²		 N 69.280456°
W 24.257813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432613372802734 y=0.229541778564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432613372802734 × 217)
    floor (0.432613372802734 × 131072)
    floor (56703.5)     		tx = 56703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229541778564453 × 217)
    floor (0.229541778564453 × 131072)
    floor (30086.5)     		ty = 30086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56703 / 30086 ti = "17/56703/30086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56703/30086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56703 ÷ 217
    56703 ÷ 131072     		x = 0.432609558105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30086 ÷ 217
    30086 ÷ 131072     		y = 0.229537963867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432609558105469 × 2 - 1) × π
    -0.134780883789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.42342663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229537963867188 × 2 - 1) × π
    0.540924072265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69936309153099
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42342663} λ = -0.42342663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69936309153099))-π/2
    2×atan(5.47046209829877)-π/2
    2×1.38999267490455-π/2
    2.7799853498091-1.57079632675     		φ = 1.20918902
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42342663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.260559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20918902 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.281427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56703 KachelY 30086 -0.42342663 1.20918902 -24.260559 69.281427
    Oben rechts KachelX + 1 56704 KachelY 30086 -0.42337870 1.20918902 -24.257813 69.281427
    Unten links KachelX 56703 KachelY + 1 30087 -0.42342663 1.20917206 -24.260559 69.280456
    Unten rechts KachelX + 1 56704 KachelY + 1 30087 -0.42337870 1.20917206 -24.257813 69.280456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20918902-1.20917206) × R
    1.69599999999548e-05 × 6371000     		dl = 108.052159999712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20918902-1.20917206) × R
    1.69599999999548e-05 × 6371000     		dr = 108.052159999712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42342663--0.42337870) × cos(1.20918902) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.353778050912694 × 6371000     		do = 108.03038379621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42342663--0.42337870) × cos(1.20917206) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.353793914048474 × 6371000     		du = 108.035227795554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20918902)-sin(1.20917206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353778050912694-0.353793914048474)×R²
    abs(-0.42337870--0.42342663)×1.58631357805028e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.58631357805028e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.58631357805028e-05×40589641000000     		ar = 11673.1780173176m²