Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56702 / 84366
↖ ↑ ↗
← S 45.855586°
W 24.263306°		 ← 212.72 m → S 45.855586°
W 24.260559°		 →
↑
212.73 m
↓
↑
212.73 m
↓
S 45.857499°
W 24.263306°		 ← 212.71 m →
45 251 m²		 S 45.857499°
W 24.260559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432605743408203 y=0.643665313720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432605743408203 × 217)
    floor (0.432605743408203 × 131072)
    floor (56702.5)     		tx = 56702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643665313720703 × 217)
    floor (0.643665313720703 × 131072)
    floor (84366.5)     		ty = 84366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56702 / 84366 ti = "17/56702/84366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56702/84366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56702 ÷ 217
    56702 ÷ 131072     		x = 0.432601928710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84366 ÷ 217
    84366 ÷ 131072     		y = 0.643661499023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432601928710938 × 2 - 1) × π
    -0.134796142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42347457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643661499023438 × 2 - 1) × π
    -0.287322998046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.902651819845657
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42347457} λ = -0.42347457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.902651819845657))-π/2
    2×atan(0.405492938514586)-π/2
    2×0.385232681504107-π/2
    0.770465363008214-1.57079632675     		φ = -0.80033096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42347457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.263306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80033096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.855586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56702 KachelY 84366 -0.42347457 -0.80033096 -24.263306 -45.855586
    Oben rechts KachelX + 1 56703 KachelY 84366 -0.42342663 -0.80033096 -24.260559 -45.855586
    Unten links KachelX 56702 KachelY + 1 84367 -0.42347457 -0.80036435 -24.263306 -45.857499
    Unten rechts KachelX + 1 56703 KachelY + 1 84367 -0.42342663 -0.80036435 -24.260559 -45.857499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80033096--0.80036435) × R
    3.3389999999911e-05 × 6371000     		dl = 212.727689999433m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80033096--0.80036435) × R
    3.3389999999911e-05 × 6371000     		dr = 212.727689999433m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42347457--0.42342663) × cos(-0.80033096) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.696469255022938 × 6371000     		do = 212.71963760249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42347457--0.42342663) × cos(-0.80036435) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.696445294417 × 6371000     		du = 212.712319416691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80033096)-sin(-0.80036435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.696469255022938-0.696445294417)×R²
    abs(-0.42342663--0.42347457)×2.39606059374564e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39606059374564e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39606059374564e-05×40589641000000     		ar = 45250.5787385788m²