Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56701 / 85939
↖ ↑ ↗
← S 48.783342°
W 24.266052°		 ← 201.25 m → S 48.783342°
W 24.263306°		 →
↑
201.26 m
↓
↑
201.26 m
↓
S 48.785152°
W 24.266052°		 ← 201.24 m →
40 502 m²		 S 48.785152°
W 24.263306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432598114013672 y=0.655666351318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432598114013672 × 217)
    floor (0.432598114013672 × 131072)
    floor (56701.5)     		tx = 56701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655666351318359 × 217)
    floor (0.655666351318359 × 131072)
    floor (85939.5)     		ty = 85939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56701 / 85939 ti = "17/56701/85939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56701/85939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56701 ÷ 217
    56701 ÷ 131072     		x = 0.432594299316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85939 ÷ 217
    85939 ÷ 131072     		y = 0.655662536621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432594299316406 × 2 - 1) × π
    -0.134811401367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.42352251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655662536621094 × 2 - 1) × π
    -0.311325073242188 × 3.1415926535     		Φ = -0.978056562948006
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42352251} λ = -0.42352251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.978056562948006))-π/2
    2×atan(0.376041201571474)-π/2
    2×0.359683191903768-π/2
    0.719366383807535-1.57079632675     		φ = -0.85142994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42352251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.266052°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85142994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.783342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56701 KachelY 85939 -0.42352251 -0.85142994 -24.266052 -48.783342
    Oben rechts KachelX + 1 56702 KachelY 85939 -0.42347457 -0.85142994 -24.263306 -48.783342
    Unten links KachelX 56701 KachelY + 1 85940 -0.42352251 -0.85146153 -24.266052 -48.785152
    Unten rechts KachelX + 1 56702 KachelY + 1 85940 -0.42347457 -0.85146153 -24.263306 -48.785152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85142994--0.85146153) × R
    3.15899999999703e-05 × 6371000     		dl = 201.25988999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85142994--0.85146153) × R
    3.15899999999703e-05 × 6371000     		dr = 201.25988999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42352251--0.42347457) × cos(-0.85142994) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.658908185605532 × 6371000     		do = 201.247520180728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42352251--0.42347457) × cos(-0.85146153) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.658884422540411 × 6371000     		du = 201.240262328979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85142994)-sin(-0.85146153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658908185605532-0.658884422540411)×R²
    abs(-0.42347457--0.42352251)×2.37630651217513e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37630651217513e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37630651217513e-05×40589641000000     		ar = 40502.3234202917m²