Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 567 / 1648
↖ ↑ ↗
← S 73.226700°
W 80.332031°		 ← 5 640.69 m → S 73.226700°
W 80.156250°		 →
↑
5 632.41 m
↓
↑
5 632.41 m
↓
S 73.277353°
W 80.332031°		 ← 5 624.14 m →
31 724 067 m²		 S 73.277353°
W 80.156250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277099609375 y=0.804931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277099609375 × 211)
    floor (0.277099609375 × 2048)
    floor (567.5)     		tx = 567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.804931640625 × 211)
    floor (0.804931640625 × 2048)
    floor (1648.5)     		ty = 1648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 567 / 1648 ti = "11/567/1648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/567/1648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 567 ÷ 211
    567 ÷ 2048     		x = 0.27685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1648 ÷ 211
    1648 ÷ 2048     		y = 0.8046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27685546875 × 2 - 1) × π
    -0.4462890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40205844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8046875 × 2 - 1) × π
    -0.609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.91440802322656
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40205844} λ = -1.40205844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.91440802322656))-π/2
    2×atan(0.147429081350882)-π/2
    2×0.146374658398824-π/2
    0.292749316797647-1.57079632675     		φ = -1.27804701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40205844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.332031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27804701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.226700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 567 KachelY 1648 -1.40205844 -1.27804701 -80.332031 -73.226700
    Oben rechts KachelX + 1 568 KachelY 1648 -1.39899048 -1.27804701 -80.156250 -73.226700
    Unten links KachelX 567 KachelY + 1 1649 -1.40205844 -1.27893108 -80.332031 -73.277353
    Unten rechts KachelX + 1 568 KachelY + 1 1649 -1.39899048 -1.27893108 -80.156250 -73.277353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27804701--1.27893108) × R
    0.000884069999999904 × 6371000     		dl = 5632.40996999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27804701--1.27893108) × R
    0.000884069999999904 × 6371000     		dr = 5632.40996999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40205844--1.39899048) × cos(-1.27804701) × R
    0.00306796000000009 × 0.288585657047466 × 6371000     		do = 5640.68750701091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40205844--1.39899048) × cos(-1.27893108) × R
    0.00306796000000009 × 0.287739087951381 × 6371000     		du = 5624.14049018073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27804701)-sin(-1.27893108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.288585657047466-0.287739087951381)×R²
    abs(-1.39899048--1.40205844)×0.00084656909608577×R²
    0.00306796000000009×0.00084656909608577×6371000²
    0.00306796000000009×0.00084656909608577×40589641000000     		ar = 31724066.8271019m²