Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 567 / 1603
↖ ↑ ↗
← S 70.786910°
W 80.332031°		 ← 6 432.24 m → S 70.786910°
W 80.156250°		 →
↑
6 422.92 m
↓
↑
6 422.92 m
↓
S 70.844672°
W 80.332031°		 ← 6 413.62 m →
41 253 994 m²		 S 70.844672°
W 80.156250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.277099609375 y=0.782958984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.277099609375 × 211)
    floor (0.277099609375 × 2048)
    floor (567.5)     		tx = 567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782958984375 × 211)
    floor (0.782958984375 × 2048)
    floor (1603.5)     		ty = 1603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 567 / 1603 ti = "11/567/1603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/567/1603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 567 ÷ 211
    567 ÷ 2048     		x = 0.27685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1603 ÷ 211
    1603 ÷ 2048     		y = 0.78271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27685546875 × 2 - 1) × π
    -0.4462890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.40205844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78271484375 × 2 - 1) × π
    -0.5654296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.7763497523208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40205844} λ = -1.40205844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7763497523208))-π/2
    2×atan(0.169254843135863)-π/2
    2×0.167665841385325-π/2
    0.33533168277065-1.57079632675     		φ = -1.23546464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40205844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.332031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23546464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.786910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 567 KachelY 1603 -1.40205844 -1.23546464 -80.332031 -70.786910
    Oben rechts KachelX + 1 568 KachelY 1603 -1.39899048 -1.23546464 -80.156250 -70.786910
    Unten links KachelX 567 KachelY + 1 1604 -1.40205844 -1.23647279 -80.332031 -70.844672
    Unten rechts KachelX + 1 568 KachelY + 1 1604 -1.39899048 -1.23647279 -80.156250 -70.844672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23546464--1.23647279) × R
    0.0010081500000001 × 6371000     		dl = 6422.92365000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23546464--1.23647279) × R
    0.0010081500000001 × 6371000     		dr = 6422.92365000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40205844--1.39899048) × cos(-1.23546464) × R
    0.00306796000000009 × 0.329082400211873 × 6371000     		do = 6432.23576196984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40205844--1.39899048) × cos(-1.23647279) × R
    0.00306796000000009 × 0.328130235874851 × 6371000     		du = 6413.6247833945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23546464)-sin(-1.23647279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329082400211873-0.328130235874851)×R²
    abs(-1.39899048--1.40205844)×0.000952164337021832×R²
    0.00306796000000009×0.000952164337021832×6371000²
    0.00306796000000009×0.000952164337021832×40589641000000     		ar = 41253994.2448162m²