Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56694 / 30103
↖ ↑ ↗
← N 69.264903°
W 24.285279°		 ← 108.14 m → N 69.264903°
W 24.282532°		 →
↑
108.12 m
↓
↑
108.12 m
↓
N 69.263930°
W 24.285279°		 ← 108.14 m →
11 691 m²		 N 69.263930°
W 24.282532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432544708251953 y=0.229671478271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432544708251953 × 217)
    floor (0.432544708251953 × 131072)
    floor (56694.5)     		tx = 56694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229671478271484 × 217)
    floor (0.229671478271484 × 131072)
    floor (30103.5)     		ty = 30103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56694 / 30103 ti = "17/56694/30103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56694/30103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56694 ÷ 217
    56694 ÷ 131072     		x = 0.432540893554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30103 ÷ 217
    30103 ÷ 131072     		y = 0.229667663574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432540893554688 × 2 - 1) × π
    -0.134918212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42385807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229667663574219 × 2 - 1) × π
    0.540664672851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.69854816423745
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42385807} λ = -0.42385807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69854816423745))-π/2
    2×atan(5.46600588541795)-π/2
    2×1.38984846826092-π/2
    2.77969693652184-1.57079632675     		φ = 1.20890061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42385807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.285279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20890061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.264903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56694 KachelY 30103 -0.42385807 1.20890061 -24.285279 69.264903
    Oben rechts KachelX + 1 56695 KachelY 30103 -0.42381013 1.20890061 -24.282532 69.264903
    Unten links KachelX 56694 KachelY + 1 30104 -0.42385807 1.20888364 -24.285279 69.263930
    Unten rechts KachelX + 1 56695 KachelY + 1 30104 -0.42381013 1.20888364 -24.282532 69.263930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20890061-1.20888364) × R
    1.6969999999894e-05 × 6371000     		dl = 108.115869999325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20890061-1.20888364) × R
    1.6969999999894e-05 × 6371000     		dr = 108.115869999325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42385807--0.42381013) × cos(1.20890061) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.354047794548167 × 6371000     		do = 108.135309645171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42385807--0.42381013) × cos(1.20888364) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.35406366530498 × 6371000     		du = 108.140156982815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20890061)-sin(1.20888364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354047794548167-0.35406366530498)×R²
    abs(-0.42381013--0.42385807)×1.58707568133631e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58707568133631e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58707568133631e-05×40589641000000     		ar = 11691.4051172362m²