Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56693 / 30098
↖ ↑ ↗
← N 69.269764°
W 24.288025°		 ← 108.09 m → N 69.269764°
W 24.285279°		 →
↑
108.12 m
↓
↑
108.12 m
↓
N 69.268792°
W 24.288025°		 ← 108.09 m →
11 686 m²		 N 69.268792°
W 24.285279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432537078857422 y=0.229633331298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432537078857422 × 217)
    floor (0.432537078857422 × 131072)
    floor (56693.5)     		tx = 56693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229633331298828 × 217)
    floor (0.229633331298828 × 131072)
    floor (30098.5)     		ty = 30098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56693 / 30098 ti = "17/56693/30098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56693/30098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56693 ÷ 217
    56693 ÷ 131072     		x = 0.432533264160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30098 ÷ 217
    30098 ÷ 131072     		y = 0.229629516601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432533264160156 × 2 - 1) × π
    -0.134933471679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.42390600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229629516601562 × 2 - 1) × π
    0.540740966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.69878784873555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42390600} λ = -0.42390600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69878784873555))-π/2
    2×atan(5.46731615931511)-π/2
    2×1.38989089338969-π/2
    2.77978178677939-1.57079632675     		φ = 1.20898546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42390600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.288025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20898546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.269764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56693 KachelY 30098 -0.42390600 1.20898546 -24.288025 69.269764
    Oben rechts KachelX + 1 56694 KachelY 30098 -0.42385807 1.20898546 -24.285279 69.269764
    Unten links KachelX 56693 KachelY + 1 30099 -0.42390600 1.20896849 -24.288025 69.268792
    Unten rechts KachelX + 1 56694 KachelY + 1 30099 -0.42385807 1.20896849 -24.285279 69.268792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20898546-1.20896849) × R
    1.69700000001161e-05 × 6371000     		dl = 108.115870000739m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20898546-1.20896849) × R
    1.69700000001161e-05 × 6371000     		dr = 108.115870000739m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42390600--0.42385807) × cos(1.20898546) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.353968439234806 × 6371000     		do = 108.088521160738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42390600--0.42385807) × cos(1.20896849) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.353984310501368 × 6371000     		du = 108.093367642914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20898546)-sin(1.20896849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353968439234806-0.353984310501368)×R²
    abs(-0.42385807--0.42390600)×1.5871266562828e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.5871266562828e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.5871266562828e-05×40589641000000     		ar = 11686.3464935064m²