Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56691 / 42332
↖ ↑ ↗
← N 53.599025°
W 24.293518°		 ← 181.25 m → N 53.599025°
W 24.290771°		 →
↑
181.25 m
↓
↑
181.25 m
↓
N 53.597395°
W 24.293518°		 ← 181.26 m →
32 853 m²		 N 53.597395°
W 24.290771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432521820068359 y=0.322971343994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432521820068359 × 217)
    floor (0.432521820068359 × 131072)
    floor (56691.5)     		tx = 56691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322971343994141 × 217)
    floor (0.322971343994141 × 131072)
    floor (42332.5)     		ty = 42332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56691 / 42332 ti = "17/56691/42332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56691/42332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56691 ÷ 217
    56691 ÷ 131072     		x = 0.432518005371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42332 ÷ 217
    42332 ÷ 131072     		y = 0.322967529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432518005371094 × 2 - 1) × π
    -0.134963989257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.42400188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322967529296875 × 2 - 1) × π
    0.35406494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11232781878378
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42400188} λ = -0.42400188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11232781878378))-π/2
    2×atan(3.04143005848588)-π/2
    2×1.25313789406926-π/2
    2.50627578813851-1.57079632675     		φ = 0.93547946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42400188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.293518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93547946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.599025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56691 KachelY 42332 -0.42400188 0.93547946 -24.293518 53.599025
    Oben rechts KachelX + 1 56692 KachelY 42332 -0.42395394 0.93547946 -24.290771 53.599025
    Unten links KachelX 56691 KachelY + 1 42333 -0.42400188 0.93545101 -24.293518 53.597395
    Unten rechts KachelX + 1 56692 KachelY + 1 42333 -0.42395394 0.93545101 -24.290771 53.597395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93547946-0.93545101) × R
    2.84500000000687e-05 × 6371000     		dl = 181.254950000438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93547946-0.93545101) × R
    2.84500000000687e-05 × 6371000     		dr = 181.254950000438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42400188--0.42395394) × cos(0.93547946) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.593432585060802 × 6371000     		do = 181.2495864324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42400188--0.42395394) × cos(0.93545101) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.593455483761839 × 6371000     		du = 181.256580285109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93547946)-sin(0.93545101))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593432585060802-0.593455483761839)×R²
    abs(-0.42395394--0.42400188)×2.28987010365556e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.28987010365556e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.28987010365556e-05×40589641000000     		ar = 32853.0185638139m²