Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56690 / 44013
↖ ↑ ↗
← N 50.769471°
W 24.296264°		 ← 193.12 m → N 50.769471°
W 24.293518°		 →
↑
193.17 m
↓
↑
193.17 m
↓
N 50.767734°
W 24.296264°		 ← 193.13 m →
37 306 m²		 N 50.767734°
W 24.293518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432514190673828 y=0.335796356201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432514190673828 × 217)
    floor (0.432514190673828 × 131072)
    floor (56690.5)     		tx = 56690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335796356201172 × 217)
    floor (0.335796356201172 × 131072)
    floor (44013.5)     		ty = 44013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56690 / 44013 ti = "17/56690/44013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56690/44013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56690 ÷ 217
    56690 ÷ 131072     		x = 0.432510375976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44013 ÷ 217
    44013 ÷ 131072     		y = 0.335792541503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432510375976562 × 2 - 1) × π
    -0.134979248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42404981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335792541503906 × 2 - 1) × π
    0.328414916992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.03174589052247
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42404981} λ = -0.42404981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03174589052247))-π/2
    2×atan(2.80596046048979)-π/2
    2×1.22844537595249-π/2
    2.45689075190497-1.57079632675     		φ = 0.88609443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42404981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.296264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88609443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.769471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56690 KachelY 44013 -0.42404981 0.88609443 -24.296264 50.769471
    Oben rechts KachelX + 1 56691 KachelY 44013 -0.42400188 0.88609443 -24.293518 50.769471
    Unten links KachelX 56690 KachelY + 1 44014 -0.42404981 0.88606411 -24.296264 50.767734
    Unten rechts KachelX + 1 56691 KachelY + 1 44014 -0.42400188 0.88606411 -24.293518 50.767734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88609443-0.88606411) × R
    3.03200000000281e-05 × 6371000     		dl = 193.168720000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88609443-0.88606411) × R
    3.03200000000281e-05 × 6371000     		dr = 193.168720000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42404981--0.42400188) × cos(0.88609443) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.632442126608366 × 6371000     		do = 193.123811638766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42404981--0.42400188) × cos(0.88606411) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.632465612420532 × 6371000     		du = 193.130983314045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88609443)-sin(0.88606411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632442126608366-0.632465612420532)×R²
    abs(-0.42400188--0.42404981)×2.34858121662684e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34858121662684e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34858121662684e-05×40589641000000     		ar = 37306.1721701385m²