Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5669 / 2599
↖ ↑ ↗
← N 54.800685°
E 69.125977°		 ← 2 816.68 m → N 54.800685°
E 69.169922°		 →
↑
2 817.57 m
↓
↑
2 817.57 m
↓
N 54.775346°
E 69.125977°		 ← 2 818.45 m →
7 938 708 m²		 N 54.775346°
E 69.169922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.69207763671875 y=0.31732177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.69207763671875 × 213)
    floor (0.69207763671875 × 8192)
    floor (5669.5)     		tx = 5669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31732177734375 × 213)
    floor (0.31732177734375 × 8192)
    floor (2599.5)     		ty = 2599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5669 / 2599 ti = "13/5669/2599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5669/2599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5669 ÷ 213
    5669 ÷ 8192     		x = 0.6920166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2599 ÷ 213
    2599 ÷ 8192     		y = 0.3172607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6920166015625 × 2 - 1) × π
    0.384033203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.20647589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3172607421875 × 2 - 1) × π
    0.365478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.14818461969959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20647589} λ = 1.20647589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14818461969959))-π/2
    2×atan(3.15246478942808)-π/2
    2×1.26362435502929-π/2
    2.52724871005859-1.57079632675     		φ = 0.95645238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20647589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 69.125977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95645238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.800685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5669 KachelY 2599 1.20647589 0.95645238 69.125977 54.800685
    Oben rechts KachelX + 1 5670 KachelY 2599 1.20724288 0.95645238 69.169922 54.800685
    Unten links KachelX 5669 KachelY + 1 2600 1.20647589 0.95601013 69.125977 54.775346
    Unten rechts KachelX + 1 5670 KachelY + 1 2600 1.20724288 0.95601013 69.169922 54.775346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95645238-0.95601013) × R
    0.000442249999999977 × 6371000     		dl = 2817.57474999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95645238-0.95601013) × R
    0.000442249999999977 × 6371000     		dr = 2817.57474999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20647589-1.20724288) × cos(0.95645238) × R
    0.000766989999999801 × 0.576422551323008 × 6371000     		do = 2816.68492924383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20647589-1.20724288) × cos(0.95601013) × R
    0.000766989999999801 × 0.576783880319027 × 6371000     		du = 2818.45056095836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95645238)-sin(0.95601013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576422551323008-0.576783880319027)×R²
    abs(1.20724288-1.20647589)×0.000361328996019372×R²
    0.000766989999999801×0.000361328996019372×6371000²
    0.000766989999999801×0.000361328996019372×40589641000000     		ar = 7938707.86440136m²