Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 5669 / 11911
↖ ↑ ↗
← S 62.985180°
W 55.437012°		 ← 1 109.76 m → S 62.985180°
W 55.415039°		 →
↑
1 109.57 m
↓
↑
1 109.57 m
↓
S 62.995159°
W 55.437012°		 ← 1 109.38 m →
1 231 149 m²		 S 62.995159°
W 55.415039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346038818359375 y=0.727020263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346038818359375 × 214)
    floor (0.346038818359375 × 16384)
    floor (5669.5)     		tx = 5669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727020263671875 × 214)
    floor (0.727020263671875 × 16384)
    floor (11911.5)     		ty = 11911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5669 / 11911 ti = "14/5669/11911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5669/11911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5669 ÷ 214
    5669 ÷ 16384     		x = 0.34600830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11911 ÷ 214
    11911 ÷ 16384     		y = 0.72698974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34600830078125 × 2 - 1) × π
    -0.3079833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.96755838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72698974609375 × 2 - 1) × π
    -0.4539794921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.42621863749591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96755838} λ = -0.96755838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42621863749591))-π/2
    2×atan(0.240215549091306)-π/2
    2×0.235748780404487-π/2
    0.471497560808974-1.57079632675     		φ = -1.09929877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96755838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.437012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09929877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.985180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5669 KachelY 11911 -0.96755838 -1.09929877 -55.437012 -62.985180
    Oben rechts KachelX + 1 5670 KachelY 11911 -0.96717489 -1.09929877 -55.415039 -62.985180
    Unten links KachelX 5669 KachelY + 1 11912 -0.96755838 -1.09947293 -55.437012 -62.995159
    Unten rechts KachelX + 1 5670 KachelY + 1 11912 -0.96717489 -1.09947293 -55.415039 -62.995159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09929877--1.09947293) × R
    0.000174159999999812 × 6371000     		dl = 1109.5733599988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09929877--1.09947293) × R
    0.000174159999999812 × 6371000     		dr = 1109.5733599988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96755838--0.96717489) × cos(-1.09929877) × R
    0.000383490000000042 × 0.454220951189522 × 6371000     		do = 1109.75934587423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96755838--0.96717489) × cos(-1.09947293) × R
    0.000383490000000042 × 0.454065787061965 × 6371000     		du = 1109.3802465829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09929877)-sin(-1.09947293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454220951189522-0.454065787061965)×R²
    abs(-0.96717489--0.96755838)×0.000155164127557228×R²
    0.000383490000000042×0.000155164127557228×6371000²
    0.000383490000000042×0.000155164127557228×40589641000000     		ar = 1231149.09006783m²