Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56689 / 9331
↖ ↑ ↗
← N 77.930610°
E131.401977°		 ← 127.73 m → N 77.930610°
E131.407471°		 →
↑
127.74 m
↓
↑
127.74 m
↓
N 77.929461°
E131.401977°		 ← 127.74 m →
16 316 m²		 N 77.929461°
E131.407471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.865013122558594 y=0.142387390136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.865013122558594 × 216)
    floor (0.865013122558594 × 65536)
    floor (56689.5)     		tx = 56689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142387390136719 × 216)
    floor (0.142387390136719 × 65536)
    floor (9331.5)     		ty = 9331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56689 / 9331 ti = "16/56689/9331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56689/9331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56689 ÷ 216
    56689 ÷ 65536     		x = 0.865005493164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9331 ÷ 216
    9331 ÷ 65536     		y = 0.142379760742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.865005493164062 × 2 - 1) × π
    0.730010986328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.29339715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142379760742188 × 2 - 1) × π
    0.715240478515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.24699423279051
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29339715} λ = 2.29339715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24699423279051))-π/2
    2×atan(9.45926072730238)-π/2
    2×1.46547102866292-π/2
    2.93094205732584-1.57079632675     		φ = 1.36014573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29339715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.401977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36014573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.930610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56689 KachelY 9331 2.29339715 1.36014573 131.401977 77.930610
    Oben rechts KachelX + 1 56690 KachelY 9331 2.29349303 1.36014573 131.407471 77.930610
    Unten links KachelX 56689 KachelY + 1 9332 2.29339715 1.36012568 131.401977 77.929461
    Unten rechts KachelX + 1 56690 KachelY + 1 9332 2.29349303 1.36012568 131.407471 77.929461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36014573-1.36012568) × R
    2.00500000000492e-05 × 6371000     		dl = 127.738550000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36014573-1.36012568) × R
    2.00500000000492e-05 × 6371000     		dr = 127.738550000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29339715-2.29349303) × cos(1.36014573) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.209096159461586 × 6371000     		do = 127.726698469342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29339715-2.29349303) × cos(1.36012568) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.209115766215998 × 6371000     		du = 127.738675284293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36014573)-sin(1.36012568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209096159461586-0.209115766215998)×R²
    abs(2.29349303-2.29339715)×1.96067544124268e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.96067544124268e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.96067544124268e-05×40589641000000     		ar = 16316.3882098961m²