Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56689 / 14000
↖ ↑ ↗
← N 80.334887°
W 24.299011°		 ← 51.28 m → N 80.334887°
W 24.296264°		 →
↑
51.29 m
↓
↑
51.29 m
↓
N 80.334426°
W 24.299011°		 ← 51.28 m →
2 630 m²		 N 80.334426°
W 24.296264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432506561279297 y=0.106815338134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432506561279297 × 217)
    floor (0.432506561279297 × 131072)
    floor (56689.5)     		tx = 56689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106815338134766 × 217)
    floor (0.106815338134766 × 131072)
    floor (14000.5)     		ty = 14000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56689 / 14000 ti = "17/56689/14000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56689/14000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56689 ÷ 217
    56689 ÷ 131072     		x = 0.432502746582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14000 ÷ 217
    14000 ÷ 131072     		y = 0.1068115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432502746582031 × 2 - 1) × π
    -0.134994506835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.42409775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1068115234375 × 2 - 1) × π
    0.786376953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.47047605881921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42409775} λ = -0.42409775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47047605881921))-π/2
    2×atan(11.8280763716198)-π/2
    2×1.48645230174615-π/2
    2.9729046034923-1.57079632675     		φ = 1.40210828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42409775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.299011°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40210828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.334887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56689 KachelY 14000 -0.42409775 1.40210828 -24.299011 80.334887
    Oben rechts KachelX + 1 56690 KachelY 14000 -0.42404981 1.40210828 -24.296264 80.334887
    Unten links KachelX 56689 KachelY + 1 14001 -0.42409775 1.40210023 -24.299011 80.334426
    Unten rechts KachelX + 1 56690 KachelY + 1 14001 -0.42404981 1.40210023 -24.296264 80.334426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40210828-1.40210023) × R
    8.04999999992617e-06 × 6371000     		dl = 51.2865499995296m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40210828-1.40210023) × R
    8.04999999992617e-06 × 6371000     		dr = 51.2865499995296m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42409775--0.42404981) × cos(1.40210828) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16788916274398 × 6371000     		do = 51.2776717690268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42409775--0.42404981) × cos(1.40210023) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167897098475857 × 6371000     		du = 51.280095545808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40210828)-sin(1.40210023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16788916274398-0.167897098475857)×R²
    abs(-0.42404981--0.42409775)×7.93573187765628e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.93573187765628e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.93573187765628e-06×40589641000000     		ar = 2629.91703057732m²