Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56688 / 13999
↖ ↑ ↗
← N 80.335348°
W 24.301758°		 ← 51.28 m → N 80.335348°
W 24.299011°		 →
↑
51.22 m
↓
↑
51.22 m
↓
N 80.334887°
W 24.301758°		 ← 51.28 m →
2 627 m²		 N 80.334887°
W 24.299011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432498931884766 y=0.106807708740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432498931884766 × 217)
    floor (0.432498931884766 × 131072)
    floor (56688.5)     		tx = 56688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106807708740234 × 217)
    floor (0.106807708740234 × 131072)
    floor (13999.5)     		ty = 13999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56688 / 13999 ti = "17/56688/13999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56688/13999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56688 ÷ 217
    56688 ÷ 131072     		x = 0.4324951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13999 ÷ 217
    13999 ÷ 131072     		y = 0.106803894042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4324951171875 × 2 - 1) × π
    -0.135009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42414569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106803894042969 × 2 - 1) × π
    0.786392211914062 × 3.1415926535     		Φ = 2.47052399571883
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42414569} λ = -0.42414569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47052399571883))-π/2
    2×atan(11.8286433865199)-π/2
    2×1.48645632569412-π/2
    2.97291265138824-1.57079632675     		φ = 1.40211632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42414569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.301758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40211632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.335348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56688 KachelY 13999 -0.42414569 1.40211632 -24.301758 80.335348
    Oben rechts KachelX + 1 56689 KachelY 13999 -0.42409775 1.40211632 -24.299011 80.335348
    Unten links KachelX 56688 KachelY + 1 14000 -0.42414569 1.40210828 -24.301758 80.334887
    Unten rechts KachelX + 1 56689 KachelY + 1 14000 -0.42409775 1.40210828 -24.299011 80.334887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40211632-1.40210828) × R
    8.03999999998695e-06 × 6371000     		dl = 51.2228399999168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40211632-1.40210828) × R
    8.03999999998695e-06 × 6371000     		dr = 51.2228399999168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42414569--0.42409775) × cos(1.40211632) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.167881236859295 × 6371000     		do = 51.2752509998911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42414569--0.42409775) × cos(1.40210828) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.16788916274398 × 6371000     		du = 51.2776717690862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40211632)-sin(1.40210828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167881236859295-0.16788916274398)×R²
    abs(-0.42409775--0.42414569)×7.92588468506716e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.92588468506716e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.92588468506716e-06×40589641000000     		ar = 2626.52597723269m²