Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56687 / 29334
↖ ↑ ↗
← N 69.999931°
W 24.304504°		 ← 104.44 m → N 69.999931°
W 24.301758°		 →
↑
104.42 m
↓
↑
104.42 m
↓
N 69.998992°
W 24.304504°		 ← 104.45 m →
10 906 m²		 N 69.998992°
W 24.301758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432491302490234 y=0.223804473876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432491302490234 × 217)
    floor (0.432491302490234 × 131072)
    floor (56687.5)     		tx = 56687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223804473876953 × 217)
    floor (0.223804473876953 × 131072)
    floor (29334.5)     		ty = 29334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56687 / 29334 ti = "17/56687/29334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56687/29334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56687 ÷ 217
    56687 ÷ 131072     		x = 0.432487487792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29334 ÷ 217
    29334 ÷ 131072     		y = 0.223800659179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432487487792969 × 2 - 1) × π
    -0.135025024414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.42419362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223800659179688 × 2 - 1) × π
    0.552398681640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.73541164004527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42419362} λ = -0.42419362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73541164004527))-π/2
    2×atan(5.67126184186159)-π/2
    2×1.39626279919035-π/2
    2.7925255983807-1.57079632675     		φ = 1.22172927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42419362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.304504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22172927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.999931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56687 KachelY 29334 -0.42419362 1.22172927 -24.304504 69.999931
    Oben rechts KachelX + 1 56688 KachelY 29334 -0.42414569 1.22172927 -24.301758 69.999931
    Unten links KachelX 56687 KachelY + 1 29335 -0.42419362 1.22171288 -24.304504 69.998992
    Unten rechts KachelX + 1 56688 KachelY + 1 29335 -0.42414569 1.22171288 -24.301758 69.998992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22172927-1.22171288) × R
    1.63900000000883e-05 × 6371000     		dl = 104.420690000562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22172927-1.22171288) × R
    1.63900000000883e-05 × 6371000     		dr = 104.420690000562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42419362--0.42414569) × cos(1.22172927) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.342021276966868 × 6371000     		do = 104.440311437738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42419362--0.42414569) × cos(1.22171288) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.34203667847622 × 6371000     		du = 104.445014473899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22172927)-sin(1.22171288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342021276966868-0.34203667847622)×R²
    abs(-0.42414569--0.42419362)×1.54015093524196e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.54015093524196e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.54015093524196e-05×40589641000000     		ar = 10905.9749316093m²