Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 56686 / 9298
↖ ↑ ↗
← N 77.968455°
E131.385498°		 ← 127.32 m → N 77.968455°
E131.390991°		 →
↑
127.29 m
↓
↑
127.29 m
↓
N 77.967310°
E131.385498°		 ← 127.33 m →
16 208 m²		 N 77.967310°
E131.390991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.864967346191406 y=0.141883850097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.864967346191406 × 216)
    floor (0.864967346191406 × 65536)
    floor (56686.5)     		tx = 56686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141883850097656 × 216)
    floor (0.141883850097656 × 65536)
    floor (9298.5)     		ty = 9298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56686 / 9298 ti = "16/56686/9298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56686/9298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56686 ÷ 216
    56686 ÷ 65536     		x = 0.864959716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9298 ÷ 216
    9298 ÷ 65536     		y = 0.141876220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.864959716796875 × 2 - 1) × π
    0.72991943359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.29310953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141876220703125 × 2 - 1) × π
    0.71624755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25015806816544
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29310953} λ = 2.29310953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25015806816544))-π/2
    2×atan(9.48923566389069)-π/2
    2×1.46580129038939-π/2
    2.93160258077878-1.57079632675     		φ = 1.36080625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29310953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.385498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36080625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.968455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56686 KachelY 9298 2.29310953 1.36080625 131.385498 77.968455
    Oben rechts KachelX + 1 56687 KachelY 9298 2.29320540 1.36080625 131.390991 77.968455
    Unten links KachelX 56686 KachelY + 1 9299 2.29310953 1.36078627 131.385498 77.967310
    Unten rechts KachelX + 1 56687 KachelY + 1 9299 2.29320540 1.36078627 131.390991 77.967310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36080625-1.36078627) × R
    1.99800000000305e-05 × 6371000     		dl = 127.292580000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36080625-1.36078627) × R
    1.99800000000305e-05 × 6371000     		dr = 127.292580000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29310953-2.29320540) × cos(1.36080625) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.208450194634472 × 6371000     		do = 127.318829536852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29310953-2.29320540) × cos(1.36078627) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.20846973569187 × 6371000     		du = 127.330764975724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36080625)-sin(1.36078627))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208450194634472-0.20846973569187)×R²
    abs(2.29320540-2.29310953)×1.95410573976817e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.95410573976817e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.95410573976817e-05×40589641000000     		ar = 16207.5019410047m²