Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56686 / 44254
↖ ↑ ↗
← N 50.348966°
W 24.307251°		 ← 194.90 m → N 50.348966°
W 24.304504°		 →
↑
194.89 m
↓
↑
194.89 m
↓
N 50.347213°
W 24.307251°		 ← 194.90 m →
37 984 m²		 N 50.347213°
W 24.304504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432483673095703 y=0.337635040283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432483673095703 × 217)
    floor (0.432483673095703 × 131072)
    floor (56686.5)     		tx = 56686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337635040283203 × 217)
    floor (0.337635040283203 × 131072)
    floor (44254.5)     		ty = 44254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56686 / 44254 ti = "17/56686/44254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56686/44254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56686 ÷ 217
    56686 ÷ 131072     		x = 0.432479858398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44254 ÷ 217
    44254 ÷ 131072     		y = 0.337631225585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432479858398438 × 2 - 1) × π
    -0.135040283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42424156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337631225585938 × 2 - 1) × π
    0.324737548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02019309771403
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42424156} λ = -0.42424156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02019309771403))-π/2
    2×atan(2.7737303132388)-π/2
    2×1.22477577731561-π/2
    2.44955155463123-1.57079632675     		φ = 0.87875523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42424156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.307251°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87875523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.348966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56686 KachelY 44254 -0.42424156 0.87875523 -24.307251 50.348966
    Oben rechts KachelX + 1 56687 KachelY 44254 -0.42419362 0.87875523 -24.304504 50.348966
    Unten links KachelX 56686 KachelY + 1 44255 -0.42424156 0.87872464 -24.307251 50.347213
    Unten rechts KachelX + 1 56687 KachelY + 1 44255 -0.42419362 0.87872464 -24.304504 50.347213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87875523-0.87872464) × R
    3.05900000000525e-05 × 6371000     		dl = 194.888890000335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87875523-0.87872464) × R
    3.05900000000525e-05 × 6371000     		dr = 194.888890000335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42424156--0.42419362) × cos(0.87875523) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.638110042967506 × 6371000     		do = 194.89523207488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42424156--0.42419362) × cos(0.87872464) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.638133595291861 × 6371000     		du = 194.902425560975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87875523)-sin(0.87872464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638110042967506-0.638133595291861)×R²
    abs(-0.42419362--0.42424156)×2.35523243555802e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35523243555802e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35523243555802e-05×40589641000000     		ar = 37983.6164135537m²