Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56684 / 30095
↖ ↑ ↗
← N 69.272681°
W 24.312744°		 ← 108.10 m → N 69.272681°
W 24.309998°		 →
↑
108.12 m
↓
↑
108.12 m
↓
N 69.271708°
W 24.312744°		 ← 108.10 m →
11 687 m²		 N 69.271708°
W 24.309998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432468414306641 y=0.229610443115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432468414306641 × 217)
    floor (0.432468414306641 × 131072)
    floor (56684.5)     		tx = 56684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229610443115234 × 217)
    floor (0.229610443115234 × 131072)
    floor (30095.5)     		ty = 30095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56684 / 30095 ti = "17/56684/30095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56684/30095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56684 ÷ 217
    56684 ÷ 131072     		x = 0.432464599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30095 ÷ 217
    30095 ÷ 131072     		y = 0.229606628417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432464599609375 × 2 - 1) × π
    -0.13507080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42433744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229606628417969 × 2 - 1) × π
    0.540786743164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.69893165943441
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42433744} λ = -0.42433744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69893165943441))-π/2
    2×atan(5.46810247441177)-π/2
    2×1.38991634390241-π/2
    2.77983268780482-1.57079632675     		φ = 1.20903636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42433744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.312744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20903636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.272681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56684 KachelY 30095 -0.42433744 1.20903636 -24.312744 69.272681
    Oben rechts KachelX + 1 56685 KachelY 30095 -0.42428950 1.20903636 -24.309998 69.272681
    Unten links KachelX 56684 KachelY + 1 30096 -0.42433744 1.20901939 -24.312744 69.271708
    Unten rechts KachelX + 1 56685 KachelY + 1 30096 -0.42428950 1.20901939 -24.309998 69.271708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20903636-1.20901939) × R
    1.69700000001161e-05 × 6371000     		dl = 108.115870000739m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20903636-1.20901939) × R
    1.69700000001161e-05 × 6371000     		dr = 108.115870000739m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42433744--0.42428950) × cos(1.20903636) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.353920834176273 × 6371000     		do = 108.09653267976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42433744--0.42428950) × cos(1.20901939) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.35393670574857 × 6371000     		du = 108.101380266474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20903636)-sin(1.20901939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353920834176273-0.35393670574857)×R²
    abs(-0.42428950--0.42433744)×1.58715722975433e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.58715722975433e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.58715722975433e-05×40589641000000     		ar = 11687.2127253913m²