Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56683 / 43949
↖ ↑ ↗
← N 50.880510°
W 24.315491°		 ← 192.67 m → N 50.880510°
W 24.312744°		 →
↑
192.72 m
↓
↑
192.72 m
↓
N 50.878777°
W 24.315491°		 ← 192.67 m →
37 132 m²		 N 50.878777°
W 24.312744°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432460784912109 y=0.335308074951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432460784912109 × 217)
    floor (0.432460784912109 × 131072)
    floor (56683.5)     		tx = 56683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335308074951172 × 217)
    floor (0.335308074951172 × 131072)
    floor (43949.5)     		ty = 43949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56683 / 43949 ti = "17/56683/43949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56683/43949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56683 ÷ 217
    56683 ÷ 131072     		x = 0.432456970214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43949 ÷ 217
    43949 ÷ 131072     		y = 0.335304260253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432456970214844 × 2 - 1) × π
    -0.135086059570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.42438537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335304260253906 × 2 - 1) × π
    0.329391479492188 × 3.1415926535     		Φ = 1.03481385209815
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42438537} λ = -0.42438537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03481385209815))-π/2
    2×atan(2.81458225827498)-π/2
    2×1.22941437756636-π/2
    2.45882875513271-1.57079632675     		φ = 0.88803243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42438537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.315491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88803243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.880510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56683 KachelY 43949 -0.42438537 0.88803243 -24.315491 50.880510
    Oben rechts KachelX + 1 56684 KachelY 43949 -0.42433744 0.88803243 -24.312744 50.880510
    Unten links KachelX 56683 KachelY + 1 43950 -0.42438537 0.88800218 -24.315491 50.878777
    Unten rechts KachelX + 1 56684 KachelY + 1 43950 -0.42433744 0.88800218 -24.312744 50.878777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88803243-0.88800218) × R
    3.02500000000094e-05 × 6371000     		dl = 192.72275000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88803243-0.88800218) × R
    3.02500000000094e-05 × 6371000     		dr = 192.72275000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42438537--0.42433744) × cos(0.88803243) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.630939750314497 × 6371000     		do = 192.665042963623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42438537--0.42433744) × cos(0.88800218) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.630963218938735 × 6371000     		du = 192.672209390361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88803243)-sin(0.88800218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630939750314497-0.630963218938735)×R²
    abs(-0.42433744--0.42438537)×2.34686242384097e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34686242384097e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34686242384097e-05×40589641000000     		ar = 37131.6274784194m²