Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56682 / 44709
↖ ↑ ↗
← N 49.544816°
W 24.318237°		 ← 198.18 m → N 49.544816°
W 24.315491°		 →
↑
198.14 m
↓
↑
198.14 m
↓
N 49.543034°
W 24.318237°		 ← 198.18 m →
39 267 m²		 N 49.543034°
W 24.315491°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432453155517578 y=0.341106414794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432453155517578 × 217)
    floor (0.432453155517578 × 131072)
    floor (56682.5)     		tx = 56682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341106414794922 × 217)
    floor (0.341106414794922 × 131072)
    floor (44709.5)     		ty = 44709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56682 / 44709 ti = "17/56682/44709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56682/44709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56682 ÷ 217
    56682 ÷ 131072     		x = 0.432449340820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44709 ÷ 217
    44709 ÷ 131072     		y = 0.341102600097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432449340820312 × 2 - 1) × π
    -0.135101318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42443331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341102600097656 × 2 - 1) × π
    0.317794799804688 × 3.1415926535     		Φ = 0.998381808386909
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42443331} λ = -0.42443331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.998381808386909))-π/2
    2×atan(2.71388668465371)-π/2
    2×1.21775824388707-π/2
    2.43551648777414-1.57079632675     		φ = 0.86472016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42443331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.318237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86472016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.544816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56682 KachelY 44709 -0.42443331 0.86472016 -24.318237 49.544816
    Oben rechts KachelX + 1 56683 KachelY 44709 -0.42438537 0.86472016 -24.315491 49.544816
    Unten links KachelX 56682 KachelY + 1 44710 -0.42443331 0.86468906 -24.318237 49.543034
    Unten rechts KachelX + 1 56683 KachelY + 1 44710 -0.42438537 0.86468906 -24.315491 49.543034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86472016-0.86468906) × R
    3.10999999999506e-05 × 6371000     		dl = 198.138099999685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86472016-0.86468906) × R
    3.10999999999506e-05 × 6371000     		dr = 198.138099999685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42443331--0.42438537) × cos(0.86472016) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.648853075184734 × 6371000     		do = 198.176430639673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42443331--0.42438537) × cos(0.86468906) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.648876739287583 × 6371000     		du = 198.183658265797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86472016)-sin(0.86468906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648853075184734-0.648876739287583)×R²
    abs(-0.42438537--0.42443331)×2.36641028492635e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36641028492635e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36641028492635e-05×40589641000000     		ar = 39267.0174689503m²