Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5668 / 11812
↖ ↑ ↗
← S 61.980267°
W 55.458985°		 ← 1 147.79 m → S 61.980267°
W 55.437012°		 →
↑
1 147.61 m
↓
↑
1 147.61 m
↓
S 61.990588°
W 55.458985°		 ← 1 147.40 m →
1 316 993 m²		 S 61.990588°
W 55.437012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345977783203125 y=0.720977783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345977783203125 × 214)
    floor (0.345977783203125 × 16384)
    floor (5668.5)     		tx = 5668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720977783203125 × 214)
    floor (0.720977783203125 × 16384)
    floor (11812.5)     		ty = 11812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5668 / 11812 ti = "14/5668/11812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5668/11812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5668 ÷ 214
    5668 ÷ 16384     		x = 0.345947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11812 ÷ 214
    11812 ÷ 16384     		y = 0.720947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345947265625 × 2 - 1) × π
    -0.30810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.96794188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720947265625 × 2 - 1) × π
    -0.44189453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.38825261299683
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96794188} λ = -0.96794188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38825261299683))-π/2
    2×atan(0.249510916061829)-π/2
    2×0.244518295886229-π/2
    0.489036591772458-1.57079632675     		φ = -1.08175973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96794188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.458985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08175973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.980267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5668 KachelY 11812 -0.96794188 -1.08175973 -55.458985 -61.980267
    Oben rechts KachelX + 1 5669 KachelY 11812 -0.96755838 -1.08175973 -55.437012 -61.980267
    Unten links KachelX 5668 KachelY + 1 11813 -0.96794188 -1.08193986 -55.458985 -61.990588
    Unten rechts KachelX + 1 5669 KachelY + 1 11813 -0.96755838 -1.08193986 -55.437012 -61.990588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08175973--1.08193986) × R
    0.000180130000000167 × 6371000     		dl = 1147.60823000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08175973--1.08193986) × R
    0.000180130000000167 × 6371000     		dr = 1147.60823000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96794188--0.96755838) × cos(-1.08175973) × R
    0.000383499999999981 × 0.46977562759401 × 6371000     		do = 1147.7926907244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96794188--0.96755838) × cos(-1.08193986) × R
    0.000383499999999981 × 0.469616603758066 × 6371000     		du = 1147.40415120505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08175973)-sin(-1.08193986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46977562759401-0.469616603758066)×R²
    abs(-0.96755838--0.96794188)×0.000159023835944017×R²
    0.000383499999999981×0.000159023835944017×6371000²
    0.000383499999999981×0.000159023835944017×40589641000000     		ar = 1316993.39619531m²