Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5668 / 11805
↖ ↑ ↗
← S 61.907926°
W 55.458985°		 ← 1 150.52 m → S 61.907926°
W 55.437012°		 →
↑
1 150.35 m
↓
↑
1 150.35 m
↓
S 61.918271°
W 55.458985°		 ← 1 150.13 m →
1 323 269 m²		 S 61.918271°
W 55.437012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345977783203125 y=0.720550537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345977783203125 × 214)
    floor (0.345977783203125 × 16384)
    floor (5668.5)     		tx = 5668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720550537109375 × 214)
    floor (0.720550537109375 × 16384)
    floor (11805.5)     		ty = 11805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5668 / 11805 ti = "14/5668/11805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5668/11805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5668 ÷ 214
    5668 ÷ 16384     		x = 0.345947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11805 ÷ 214
    11805 ÷ 16384     		y = 0.72052001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345947265625 × 2 - 1) × π
    -0.30810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.96794188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72052001953125 × 2 - 1) × π
    -0.4410400390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.3855681466181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96794188} λ = -0.96794188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3855681466181))-π/2
    2×atan(0.250181619564846)-π/2
    2×0.245149591881759-π/2
    0.490299183763517-1.57079632675     		φ = -1.08049714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96794188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.458985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08049714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.907926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5668 KachelY 11805 -0.96794188 -1.08049714 -55.458985 -61.907926
    Oben rechts KachelX + 1 5669 KachelY 11805 -0.96755838 -1.08049714 -55.437012 -61.907926
    Unten links KachelX 5668 KachelY + 1 11806 -0.96794188 -1.08067770 -55.458985 -61.918271
    Unten rechts KachelX + 1 5669 KachelY + 1 11806 -0.96755838 -1.08067770 -55.437012 -61.918271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08049714--1.08067770) × R
    0.000180559999999996 × 6371000     		dl = 1150.34775999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08049714--1.08067770) × R
    0.000180559999999996 × 6371000     		dr = 1150.34775999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96794188--0.96755838) × cos(-1.08049714) × R
    0.000383499999999981 × 0.470889849443713 × 6371000     		do = 1150.51504501401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96794188--0.96755838) × cos(-1.08067770) × R
    0.000383499999999981 × 0.470730553178563 × 6371000     		du = 1150.12583987423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08049714)-sin(-1.08067770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.470889849443713-0.470730553178563)×R²
    abs(-0.96755838--0.96794188)×0.000159296265150211×R²
    0.000383499999999981×0.000159296265150211×6371000²
    0.000383499999999981×0.000159296265150211×40589641000000     		ar = 1323268.54784382m²