Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5668 / 11804
↖ ↑ ↗
← S 61.897578°
W 55.458985°		 ← 1 150.90 m → S 61.897578°
W 55.437012°		 →
↑
1 150.67 m
↓
↑
1 150.67 m
↓
S 61.907926°
W 55.458985°		 ← 1 150.52 m →
1 324 083 m²		 S 61.907926°
W 55.437012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345977783203125 y=0.720489501953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345977783203125 × 214)
    floor (0.345977783203125 × 16384)
    floor (5668.5)     		tx = 5668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720489501953125 × 214)
    floor (0.720489501953125 × 16384)
    floor (11804.5)     		ty = 11804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5668 / 11804 ti = "14/5668/11804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5668/11804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5668 ÷ 214
    5668 ÷ 16384     		x = 0.345947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11804 ÷ 214
    11804 ÷ 16384     		y = 0.720458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345947265625 × 2 - 1) × π
    -0.30810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.96794188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720458984375 × 2 - 1) × π
    -0.44091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.38518465142114
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96794188} λ = -0.96794188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38518465142114))-π/2
    2×atan(0.250277581413595)-π/2
    2×0.245239899153889-π/2
    0.490479798307778-1.57079632675     		φ = -1.08031653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96794188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.458985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08031653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.897578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5668 KachelY 11804 -0.96794188 -1.08031653 -55.458985 -61.897578
    Oben rechts KachelX + 1 5669 KachelY 11804 -0.96755838 -1.08031653 -55.437012 -61.897578
    Unten links KachelX 5668 KachelY + 1 11805 -0.96794188 -1.08049714 -55.458985 -61.907926
    Unten rechts KachelX + 1 5669 KachelY + 1 11805 -0.96755838 -1.08049714 -55.437012 -61.907926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08031653--1.08049714) × R
    0.000180610000000136 × 6371000     		dl = 1150.66631000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08031653--1.08049714) × R
    0.000180610000000136 × 6371000     		dr = 1150.66631000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96794188--0.96755838) × cos(-1.08031653) × R
    0.000383499999999981 × 0.471049174462302 × 6371000     		do = 1150.90432040643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96794188--0.96755838) × cos(-1.08049714) × R
    0.000383499999999981 × 0.470889849443713 × 6371000     		du = 1150.51504501401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08031653)-sin(-1.08049714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.471049174462302-0.470889849443713)×R²
    abs(-0.96755838--0.96794188)×0.000159325018588452×R²
    0.000383499999999981×0.000159325018588452×6371000²
    0.000383499999999981×0.000159325018588452×40589641000000     		ar = 1324082.86808524m²