Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5668 / 11801
↖ ↑ ↗
← S 61.866511°
W 55.458985°		 ← 1 152.07 m → S 61.866511°
W 55.437012°		 →
↑
1 151.88 m
↓
↑
1 151.88 m
↓
S 61.876870°
W 55.458985°		 ← 1 151.68 m →
1 326 821 m²		 S 61.876870°
W 55.437012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345977783203125 y=0.720306396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345977783203125 × 214)
    floor (0.345977783203125 × 16384)
    floor (5668.5)     		tx = 5668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720306396484375 × 214)
    floor (0.720306396484375 × 16384)
    floor (11801.5)     		ty = 11801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5668 / 11801 ti = "14/5668/11801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5668/11801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5668 ÷ 214
    5668 ÷ 16384     		x = 0.345947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11801 ÷ 214
    11801 ÷ 16384     		y = 0.72027587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.345947265625 × 2 - 1) × π
    -0.30810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.96794188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72027587890625 × 2 - 1) × π
    -0.4405517578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.38403416583026
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96794188} λ = -0.96794188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38403416583026))-π/2
    2×atan(0.250565687864113)-π/2
    2×0.245511004327747-π/2
    0.491022008655493-1.57079632675     		φ = -1.07977432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96794188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.458985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07977432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.866511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5668 KachelY 11801 -0.96794188 -1.07977432 -55.458985 -61.866511
    Oben rechts KachelX + 1 5669 KachelY 11801 -0.96755838 -1.07977432 -55.437012 -61.866511
    Unten links KachelX 5668 KachelY + 1 11802 -0.96794188 -1.07995512 -55.458985 -61.876870
    Unten rechts KachelX + 1 5669 KachelY + 1 11802 -0.96755838 -1.07995512 -55.437012 -61.876870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07977432--1.07995512) × R
    0.00018079999999987 × 6371000     		dl = 1151.87679999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07977432--1.07995512) × R
    0.00018079999999987 × 6371000     		dr = 1151.87679999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96794188--0.96755838) × cos(-1.07977432) × R
    0.000383499999999981 × 0.471527392407187 × 6371000     		do = 1152.07274002949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96794188--0.96755838) × cos(-1.07995512) × R
    0.000383499999999981 × 0.471367945965422 × 6371000     		du = 1151.68316796642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07977432)-sin(-1.07995512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.471527392407187-0.471367945965422)×R²
    abs(-0.96755838--0.96794188)×0.000159446441765243×R²
    0.000383499999999981×0.000159446441765243×6371000²
    0.000383499999999981×0.000159446441765243×40589641000000     		ar = 1326821.49525604m²