Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56676 / 43996
↖ ↑ ↗
← N 50.798992°
W 24.334717°		 ← 193.04 m → N 50.798992°
W 24.331970°		 →
↑
193.04 m
↓
↑
193.04 m
↓
N 50.797256°
W 24.334717°		 ← 193.05 m →
37 266 m²		 N 50.797256°
W 24.331970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432407379150391 y=0.335666656494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432407379150391 × 217)
    floor (0.432407379150391 × 131072)
    floor (56676.5)     		tx = 56676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335666656494141 × 217)
    floor (0.335666656494141 × 131072)
    floor (43996.5)     		ty = 43996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56676 / 43996 ti = "17/56676/43996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56676/43996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56676 ÷ 217
    56676 ÷ 131072     		x = 0.432403564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43996 ÷ 217
    43996 ÷ 131072     		y = 0.335662841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432403564453125 × 2 - 1) × π
    -0.13519287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.42472093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335662841796875 × 2 - 1) × π
    0.32867431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03256081781601
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42472093} λ = -0.42472093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03256081781601))-π/2
    2×atan(2.80824804623507)-π/2
    2×1.22870299179949-π/2
    2.45740598359899-1.57079632675     		φ = 0.88660966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42472093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.334717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88660966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.798992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56676 KachelY 43996 -0.42472093 0.88660966 -24.334717 50.798992
    Oben rechts KachelX + 1 56677 KachelY 43996 -0.42467299 0.88660966 -24.331970 50.798992
    Unten links KachelX 56676 KachelY + 1 43997 -0.42472093 0.88657936 -24.334717 50.797256
    Unten rechts KachelX + 1 56677 KachelY + 1 43997 -0.42467299 0.88657936 -24.331970 50.797256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88660966-0.88657936) × R
    3.02999999999276e-05 × 6371000     		dl = 193.041299999539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88660966-0.88657936) × R
    3.02999999999276e-05 × 6371000     		dr = 193.041299999539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42472093--0.42467299) × cos(0.88660966) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.632042941600129 × 6371000     		do = 193.042183150093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42472093--0.42467299) × cos(0.88657936) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.632066421790945 × 6371000     		du = 193.049354604748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88660966)-sin(0.88657936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632042941600129-0.632066421790945)×R²
    abs(-0.42467299--0.42472093)×2.34801908154392e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34801908154392e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34801908154392e-05×40589641000000     		ar = 37265.8061861709m²