Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56675 / 44069
↖ ↑ ↗
← N 50.672095°
W 24.337464°		 ← 193.57 m → N 50.672095°
W 24.334717°		 →
↑
193.55 m
↓
↑
193.55 m
↓
N 50.670354°
W 24.337464°		 ← 193.57 m →
37 466 m²		 N 50.670354°
W 24.334717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56675 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432399749755859 y=0.336223602294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432399749755859 × 217)
    floor (0.432399749755859 × 131072)
    floor (56675.5)     		tx = 56675
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336223602294922 × 217)
    floor (0.336223602294922 × 131072)
    floor (44069.5)     		ty = 44069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56675 / 44069 ti = "17/56675/44069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56675/44069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56675 ÷ 217
    56675 ÷ 131072     		x = 0.432395935058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44069 ÷ 217
    44069 ÷ 131072     		y = 0.336219787597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432395935058594 × 2 - 1) × π
    -0.135208129882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.42476887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336219787597656 × 2 - 1) × π
    0.327560424804688 × 3.1415926535     		Φ = 1.02906142414375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42476887} λ = -0.42476887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02906142414375))-π/2
    2×atan(2.7984380553129)-π/2
    2×1.22759560834254-π/2
    2.45519121668507-1.57079632675     		φ = 0.88439489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42476887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.337464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88439489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.672095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56675 KachelY 44069 -0.42476887 0.88439489 -24.337464 50.672095
    Oben rechts KachelX + 1 56676 KachelY 44069 -0.42472093 0.88439489 -24.334717 50.672095
    Unten links KachelX 56675 KachelY + 1 44070 -0.42476887 0.88436451 -24.337464 50.670354
    Unten rechts KachelX + 1 56676 KachelY + 1 44070 -0.42472093 0.88436451 -24.334717 50.670354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88439489-0.88436451) × R
    3.03799999999965e-05 × 6371000     		dl = 193.550979999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88439489-0.88436451) × R
    3.03799999999965e-05 × 6371000     		dr = 193.550979999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42476887--0.42472093) × cos(0.88439489) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.633757689215658 × 6371000     		do = 193.56591120948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42476887--0.42472093) × cos(0.88436451) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.633781188814284 × 6371000     		du = 193.57308859178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88439489)-sin(0.88436451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633757689215658-0.633781188814284)×R²
    abs(-0.42472093--0.42476887)×2.349959862602e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.349959862602e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.349959862602e-05×40589641000000     		ar = 37465.5664068296m²