Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56674 / 44719
↖ ↑ ↗
← N 49.526991°
W 24.340210°		 ← 198.21 m → N 49.526991°
W 24.337464°		 →
↑
198.20 m
↓
↑
198.20 m
↓
N 49.525208°
W 24.340210°		 ← 198.21 m →
39 286 m²		 N 49.525208°
W 24.337464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432392120361328 y=0.341182708740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432392120361328 × 217)
    floor (0.432392120361328 × 131072)
    floor (56674.5)     		tx = 56674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341182708740234 × 217)
    floor (0.341182708740234 × 131072)
    floor (44719.5)     		ty = 44719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56674 / 44719 ti = "17/56674/44719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56674/44719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56674 ÷ 217
    56674 ÷ 131072     		x = 0.432388305664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44719 ÷ 217
    44719 ÷ 131072     		y = 0.341178894042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432388305664062 × 2 - 1) × π
    -0.135223388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42481680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341178894042969 × 2 - 1) × π
    0.317642211914062 × 3.1415926535     		Φ = 0.997902439390709
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42481680} λ = -0.42481680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.997902439390709))-π/2
    2×atan(2.71258604328637)-π/2
    2×1.21760269549902-π/2
    2.43520539099804-1.57079632675     		φ = 0.86440906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42481680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.340210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86440906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.526991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56674 KachelY 44719 -0.42481680 0.86440906 -24.340210 49.526991
    Oben rechts KachelX + 1 56675 KachelY 44719 -0.42476887 0.86440906 -24.337464 49.526991
    Unten links KachelX 56674 KachelY + 1 44720 -0.42481680 0.86437795 -24.340210 49.525208
    Unten rechts KachelX + 1 56675 KachelY + 1 44720 -0.42476887 0.86437795 -24.337464 49.525208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86440906-0.86437795) × R
    3.11100000000009e-05 × 6371000     		dl = 198.201810000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86440906-0.86437795) × R
    3.11100000000009e-05 × 6371000     		dr = 198.201810000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42481680--0.42476887) × cos(0.86440906) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.649089764039663 × 6371000     		do = 198.207367999264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42481680--0.42476887) × cos(0.86437795) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.64911342947038 × 6371000     		du = 198.214594523229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86440906)-sin(0.86437795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649089764039663-0.64911342947038)×R²
    abs(-0.42476887--0.42481680)×2.3665430716302e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3665430716302e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3665430716302e-05×40589641000000     		ar = 39285.7752511224m²