Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56672 / 44704
↖ ↑ ↗
← N 49.553726°
W 24.345703°		 ← 198.14 m → N 49.553726°
W 24.342956°		 →
↑
198.14 m
↓
↑
198.14 m
↓
N 49.551944°
W 24.345703°		 ← 198.15 m →
39 260 m²		 N 49.551944°
W 24.342956°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432376861572266 y=0.341068267822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432376861572266 × 217)
    floor (0.432376861572266 × 131072)
    floor (56672.5)     		tx = 56672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341068267822266 × 217)
    floor (0.341068267822266 × 131072)
    floor (44704.5)     		ty = 44704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56672 / 44704 ti = "17/56672/44704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56672/44704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56672 ÷ 217
    56672 ÷ 131072     		x = 0.432373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44704 ÷ 217
    44704 ÷ 131072     		y = 0.341064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432373046875 × 2 - 1) × π
    -0.13525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42491268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341064453125 × 2 - 1) × π
    0.31787109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.99862149288501
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42491268} λ = -0.42491268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.99862149288501))-π/2
    2×atan(2.71453723918243)-π/2
    2×1.21783599680803-π/2
    2.43567199361605-1.57079632675     		φ = 0.86487567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42491268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.345703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86487567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.553726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56672 KachelY 44704 -0.42491268 0.86487567 -24.345703 49.553726
    Oben rechts KachelX + 1 56673 KachelY 44704 -0.42486474 0.86487567 -24.342956 49.553726
    Unten links KachelX 56672 KachelY + 1 44705 -0.42491268 0.86484457 -24.345703 49.551944
    Unten rechts KachelX + 1 56673 KachelY + 1 44705 -0.42486474 0.86484457 -24.342956 49.551944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86487567-0.86484457) × R
    3.10999999999506e-05 × 6371000     		dl = 198.138099999685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86487567-0.86484457) × R
    3.10999999999506e-05 × 6371000     		dr = 198.138099999685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42491268--0.42486474) × cos(0.86487567) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.648734737647142 × 6371000     		do = 198.140287309454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42491268--0.42486474) × cos(0.86484457) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.64875840488785 × 6371000     		du = 198.147515893961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86487567)-sin(0.86484457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648734737647142-0.64875840488785)×R²
    abs(-0.42486474--0.42491268)×2.36672407080141e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36672407080141e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36672407080141e-05×40589641000000     		ar = 39259.8561930492m²