Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56672 / 18267
↖ ↑ ↗
← N 78.155370°
W 24.345703°		 ← 62.69 m → N 78.155370°
W 24.342956°		 →
↑
62.69 m
↓
↑
62.69 m
↓
N 78.154807°
W 24.345703°		 ← 62.69 m →
3 930 m²		 N 78.154807°
W 24.342956°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432376861572266 y=0.139369964599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432376861572266 × 217)
    floor (0.432376861572266 × 131072)
    floor (56672.5)     		tx = 56672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139369964599609 × 217)
    floor (0.139369964599609 × 131072)
    floor (18267.5)     		ty = 18267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56672 / 18267 ti = "17/56672/18267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56672/18267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56672 ÷ 217
    56672 ÷ 131072     		x = 0.432373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18267 ÷ 217
    18267 ÷ 131072     		y = 0.139366149902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432373046875 × 2 - 1) × π
    -0.13525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42491268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139366149902344 × 2 - 1) × π
    0.721267700195312 × 3.1415926535     		Φ = 2.26592930814043
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42491268} λ = -0.42491268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26592930814043))-π/2
    2×atan(9.64007904367739)-π/2
    2×1.46743243408555-π/2
    2.9348648681711-1.57079632675     		φ = 1.36406854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42491268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.345703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36406854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.155370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56672 KachelY 18267 -0.42491268 1.36406854 -24.345703 78.155370
    Oben rechts KachelX + 1 56673 KachelY 18267 -0.42486474 1.36406854 -24.342956 78.155370
    Unten links KachelX 56672 KachelY + 1 18268 -0.42491268 1.36405870 -24.345703 78.154807
    Unten rechts KachelX + 1 56673 KachelY + 1 18268 -0.42486474 1.36405870 -24.342956 78.154807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36406854-1.36405870) × R
    9.84000000014973e-06 × 6371000     		dl = 62.6906400009539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36406854-1.36405870) × R
    9.84000000014973e-06 × 6371000     		dr = 62.6906400009539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42491268--0.42486474) × cos(1.36406854) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205258463854512 × 6371000     		do = 62.6912182139864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42491268--0.42486474) × cos(1.36405870) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205268094329353 × 6371000     		du = 62.6941596088914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36406854)-sin(1.36405870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205258463854512-0.205268094329353)×R²
    abs(-0.42486474--0.42491268)×9.63047484117685e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.63047484117685e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.63047484117685e-06×40589641000000     		ar = 3930.24479119814m²