Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56670 / 43950
↖ ↑ ↗
← N 50.878777°
W 24.351196°		 ← 192.67 m → N 50.878777°
W 24.348450°		 →
↑
192.66 m
↓
↑
192.66 m
↓
N 50.877044°
W 24.351196°		 ← 192.68 m →
37 121 m²		 N 50.877044°
W 24.348450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432361602783203 y=0.335315704345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432361602783203 × 217)
    floor (0.432361602783203 × 131072)
    floor (56670.5)     		tx = 56670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335315704345703 × 217)
    floor (0.335315704345703 × 131072)
    floor (43950.5)     		ty = 43950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56670 / 43950 ti = "17/56670/43950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56670/43950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56670 ÷ 217
    56670 ÷ 131072     		x = 0.432357788085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43950 ÷ 217
    43950 ÷ 131072     		y = 0.335311889648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432357788085938 × 2 - 1) × π
    -0.135284423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.42500855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335311889648438 × 2 - 1) × π
    0.329376220703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03476591519853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42500855} λ = -0.42500855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03476591519853))-π/2
    2×atan(2.81444733916162)-π/2
    2×1.22939925463737-π/2
    2.45879850927474-1.57079632675     		φ = 0.88800218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42500855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.351196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88800218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.878777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56670 KachelY 43950 -0.42500855 0.88800218 -24.351196 50.878777
    Oben rechts KachelX + 1 56671 KachelY 43950 -0.42496062 0.88800218 -24.348450 50.878777
    Unten links KachelX 56670 KachelY + 1 43951 -0.42500855 0.88797194 -24.351196 50.877044
    Unten rechts KachelX + 1 56671 KachelY + 1 43951 -0.42496062 0.88797194 -24.348450 50.877044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88800218-0.88797194) × R
    3.02399999999592e-05 × 6371000     		dl = 192.65903999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88800218-0.88797194) × R
    3.02399999999592e-05 × 6371000     		dr = 192.65903999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42500855--0.42496062) × cos(0.88800218) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.630963218938735 × 6371000     		do = 192.672209390361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42500855--0.42496062) × cos(0.88797194) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.630986679227666 × 6371000     		du = 192.679373271814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88800218)-sin(0.88797194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630963218938735-0.630986679227666)×R²
    abs(-0.42496062--0.42500855)×2.34602889309654e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34602889309654e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34602889309654e-05×40589641000000     		ar = 37120.7329918637m²