Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5667 / 11813
↖ ↑ ↗
← S 61.990588°
W 55.480957°		 ← 1 147.37 m → S 61.990588°
W 55.458985°		 →
↑
1 147.23 m
↓
↑
1 147.23 m
↓
S 62.000905°
W 55.480957°		 ← 1 146.99 m →
1 316 075 m²		 S 62.000905°
W 55.458985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.345916748046875 y=0.721038818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.345916748046875 × 214)
    floor (0.345916748046875 × 16384)
    floor (5667.5)     		tx = 5667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721038818359375 × 214)
    floor (0.721038818359375 × 16384)
    floor (11813.5)     		ty = 11813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5667 / 11813 ti = "14/5667/11813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5667/11813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5667 ÷ 214
    5667 ÷ 16384     		x = 0.34588623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11813 ÷ 214
    11813 ÷ 16384     		y = 0.72100830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34588623046875 × 2 - 1) × π
    -0.3082275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.96832537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72100830078125 × 2 - 1) × π
    -0.4420166015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.38863610819379
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96832537} λ = -0.96832537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38863610819379))-π/2
    2×atan(0.249415248169191)-π/2
    2×0.244428232785178-π/2
    0.488856465570356-1.57079632675     		φ = -1.08193986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96832537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.480957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08193986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.990588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5667 KachelY 11813 -0.96832537 -1.08193986 -55.480957 -61.990588
    Oben rechts KachelX + 1 5668 KachelY 11813 -0.96794188 -1.08193986 -55.458985 -61.990588
    Unten links KachelX 5667 KachelY + 1 11814 -0.96832537 -1.08211993 -55.480957 -62.000905
    Unten rechts KachelX + 1 5668 KachelY + 1 11814 -0.96794188 -1.08211993 -55.458985 -62.000905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08193986--1.08211993) × R
    0.000180069999999866 × 6371000     		dl = 1147.22596999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08193986--1.08211993) × R
    0.000180069999999866 × 6371000     		dr = 1147.22596999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96832537--0.96794188) × cos(-1.08193986) × R
    0.000383489999999931 × 0.469616603758066 × 6371000     		do = 1147.37423193107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96832537--0.96794188) × cos(-1.08211993) × R
    0.000383489999999931 × 0.46945761766186 × 6371000     		du = 1146.98579474941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08193986)-sin(-1.08211993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.469616603758066-0.46945761766186)×R²
    abs(-0.96794188--0.96832537)×0.000158986096206348×R²
    0.000383489999999931×0.000158986096206348×6371000²
    0.000383489999999931×0.000158986096206348×40589641000000     		ar = 1316074.70712408m²