Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56668 / 9324
↖ ↑ ↗
← N 77.938647°
E131.286621°		 ← 127.64 m → N 77.938647°
E131.292115°		 →
↑
127.61 m
↓
↑
127.61 m
↓
N 77.937500°
E131.286621°		 ← 127.65 m →
16 289 m²		 N 77.937500°
E131.292115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.864692687988281 y=0.142280578613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.864692687988281 × 216)
    floor (0.864692687988281 × 65536)
    floor (56668.5)     		tx = 56668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142280578613281 × 216)
    floor (0.142280578613281 × 65536)
    floor (9324.5)     		ty = 9324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56668 / 9324 ti = "16/56668/9324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56668/9324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56668 ÷ 216
    56668 ÷ 65536     		x = 0.86468505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9324 ÷ 216
    9324 ÷ 65536     		y = 0.14227294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.86468505859375 × 2 - 1) × π
    0.7293701171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.29138380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14227294921875 × 2 - 1) × π
    0.7154541015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.24766534938519
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29138380} λ = 2.29138380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24766534938519))-π/2
    2×atan(9.46561112484012)-π/2
    2×1.46554116959514-π/2
    2.93108233919029-1.57079632675     		φ = 1.36028601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29138380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.286621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36028601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.938647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56668 KachelY 9324 2.29138380 1.36028601 131.286621 77.938647
    Oben rechts KachelX + 1 56669 KachelY 9324 2.29147968 1.36028601 131.292115 77.938647
    Unten links KachelX 56668 KachelY + 1 9325 2.29138380 1.36026598 131.286621 77.937500
    Unten rechts KachelX + 1 56669 KachelY + 1 9325 2.29147968 1.36026598 131.292115 77.937500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36028601-1.36026598) × R
    2.00299999999487e-05 × 6371000     		dl = 127.611129999673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36028601-1.36026598) × R
    2.00299999999487e-05 × 6371000     		dr = 127.611129999673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29138380-2.29147968) × cos(1.36028601) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.208958978282248 × 6371000     		do = 127.642901142916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29138380-2.29147968) × cos(1.36026598) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.208978566066198 × 6371000     		du = 127.654866369731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36028601)-sin(1.36026598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208958978282248-0.208978566066198)×R²
    abs(2.29147968-2.29138380)×1.95877839493652e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.95877839493652e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.95877839493652e-05×40589641000000     		ar = 16289.4182998558m²