Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 56668 / 9188
↖ ↑ ↗
← N 78.093763°
E131.286621°		 ← 126.03 m → N 78.093763°
E131.292115°		 →
↑
126.02 m
↓
↑
126.02 m
↓
N 78.092630°
E131.286621°		 ← 126.04 m →
15 882 m²		 N 78.092630°
E131.292115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.864692687988281 y=0.140205383300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.864692687988281 × 216)
    floor (0.864692687988281 × 65536)
    floor (56668.5)     		tx = 56668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140205383300781 × 216)
    floor (0.140205383300781 × 65536)
    floor (9188.5)     		ty = 9188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 56668 / 9188 ti = "16/56668/9188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/56668/9188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56668 ÷ 216
    56668 ÷ 65536     		x = 0.86468505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9188 ÷ 216
    9188 ÷ 65536     		y = 0.14019775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.86468505859375 × 2 - 1) × π
    0.7293701171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.29138380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14019775390625 × 2 - 1) × π
    0.7196044921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26070418608185
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.29138380} λ = 2.29138380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26070418608185))-π/2
    2×atan(9.58983982135627)-π/2
    2×1.46689481043219-π/2
    2.93378962086438-1.57079632675     		φ = 1.36299329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.29138380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 131.286621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36299329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.093763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56668 KachelY 9188 2.29138380 1.36299329 131.286621 78.093763
    Oben rechts KachelX + 1 56669 KachelY 9188 2.29147968 1.36299329 131.292115 78.093763
    Unten links KachelX 56668 KachelY + 1 9189 2.29138380 1.36297351 131.286621 78.092630
    Unten rechts KachelX + 1 56669 KachelY + 1 9189 2.29147968 1.36297351 131.292115 78.092630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36299329-1.36297351) × R
    1.97799999999138e-05 × 6371000     		dl = 126.018379999451m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36299329-1.36297351) × R
    1.97799999999138e-05 × 6371000     		dr = 126.018379999451m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.29138380-2.29147968) × cos(1.36299329) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.206310700560491 × 6371000     		do = 126.02519677713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.29138380-2.29147968) × cos(1.36297351) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.206330054983749 × 6371000     		du = 126.037019455222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36299329)-sin(1.36297351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206310700560491-0.206330054983749)×R²
    abs(2.29147968-2.29138380)×1.93544232577059e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.93544232577059e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.93544232577059e-05×40589641000000     		ar = 15882.2360750539m²