Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56668 / 44076
↖ ↑ ↗
← N 50.659908°
W 24.356690°		 ← 193.62 m → N 50.659908°
W 24.353943°		 →
↑
193.61 m
↓
↑
193.61 m
↓
N 50.658167°
W 24.356690°		 ← 193.62 m →
37 488 m²		 N 50.658167°
W 24.353943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432346343994141 y=0.336277008056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432346343994141 × 217)
    floor (0.432346343994141 × 131072)
    floor (56668.5)     		tx = 56668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336277008056641 × 217)
    floor (0.336277008056641 × 131072)
    floor (44076.5)     		ty = 44076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56668 / 44076 ti = "17/56668/44076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56668/44076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56668 ÷ 217
    56668 ÷ 131072     		x = 0.432342529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44076 ÷ 217
    44076 ÷ 131072     		y = 0.336273193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432342529296875 × 2 - 1) × π
    -0.13531494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42510443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336273193359375 × 2 - 1) × π
    0.32745361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02872586584641
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42510443} λ = -0.42510443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02872586584641))-π/2
    2×atan(2.79749917373741)-π/2
    2×1.22748926321663-π/2
    2.45497852643325-1.57079632675     		φ = 0.88418220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42510443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.356690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88418220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.659908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56668 KachelY 44076 -0.42510443 0.88418220 -24.356690 50.659908
    Oben rechts KachelX + 1 56669 KachelY 44076 -0.42505649 0.88418220 -24.353943 50.659908
    Unten links KachelX 56668 KachelY + 1 44077 -0.42510443 0.88415181 -24.356690 50.658167
    Unten rechts KachelX + 1 56669 KachelY + 1 44077 -0.42505649 0.88415181 -24.353943 50.658167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88418220-0.88415181) × R
    3.03900000000468e-05 × 6371000     		dl = 193.614690000298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88418220-0.88415181) × R
    3.03900000000468e-05 × 6371000     		dr = 193.614690000298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42510443--0.42505649) × cos(0.88418220) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.633922197323346 × 6371000     		do = 193.616156219782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42510443--0.42505649) × cos(0.88415181) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.6339457005601 × 6371000     		du = 193.62333471326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88418220)-sin(0.88415181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633922197323346-0.6339457005601)×R²
    abs(-0.42505649--0.42510443)×2.35032367549293e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35032367549293e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35032367549293e-05×40589641000000     		ar = 37487.6269991991m²