Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56668 / 30308
↖ ↑ ↗
← N 69.064638°
W 24.356690°		 ← 109.13 m → N 69.064638°
W 24.353943°		 →
↑
109.14 m
↓
↑
109.14 m
↓
N 69.063657°
W 24.356690°		 ← 109.14 m →
11 911 m²		 N 69.063657°
W 24.353943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432346343994141 y=0.231235504150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432346343994141 × 217)
    floor (0.432346343994141 × 131072)
    floor (56668.5)     		tx = 56668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231235504150391 × 217)
    floor (0.231235504150391 × 131072)
    floor (30308.5)     		ty = 30308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56668 / 30308 ti = "17/56668/30308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56668/30308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56668 ÷ 217
    56668 ÷ 131072     		x = 0.432342529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30308 ÷ 217
    30308 ÷ 131072     		y = 0.231231689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432342529296875 × 2 - 1) × π
    -0.13531494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42510443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231231689453125 × 2 - 1) × π
    0.53753662109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.68872109981534
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42510443} λ = -0.42510443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68872109981534))-π/2
    2×atan(5.4125541603804)-π/2
    2×1.38810082797397-π/2
    2.77620165594793-1.57079632675     		φ = 1.20540533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42510443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.356690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20540533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.064638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56668 KachelY 30308 -0.42510443 1.20540533 -24.356690 69.064638
    Oben rechts KachelX + 1 56669 KachelY 30308 -0.42505649 1.20540533 -24.353943 69.064638
    Unten links KachelX 56668 KachelY + 1 30309 -0.42510443 1.20538820 -24.356690 69.063657
    Unten rechts KachelX + 1 56669 KachelY + 1 30309 -0.42505649 1.20538820 -24.353943 69.063657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20540533-1.20538820) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dl = 109.135230000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20540533-1.20538820) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dr = 109.135230000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42510443--0.42505649) × cos(1.20540533) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.357314506579322 × 6371000     		do = 109.133047584653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42510443--0.42505649) × cos(1.20538820) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.357330505674937 × 6371000     		du = 109.13793412027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20540533)-sin(1.20538820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357314506579322-0.357330505674937)×R²
    abs(-0.42505649--0.42510443)×1.59990956142275e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59990956142275e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59990956142275e-05×40589641000000     		ar = 11910.5268956587m²