Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56667 / 30337
↖ ↑ ↗
← N 69.036159°
W 24.359436°		 ← 109.25 m → N 69.036159°
W 24.356690°		 →
↑
109.26 m
↓
↑
109.26 m
↓
N 69.035177°
W 24.359436°		 ← 109.26 m →
11 937 m²		 N 69.035177°
W 24.356690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432338714599609 y=0.231456756591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432338714599609 × 217)
    floor (0.432338714599609 × 131072)
    floor (56667.5)     		tx = 56667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231456756591797 × 217)
    floor (0.231456756591797 × 131072)
    floor (30337.5)     		ty = 30337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56667 / 30337 ti = "17/56667/30337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56667/30337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56667 ÷ 217
    56667 ÷ 131072     		x = 0.432334899902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30337 ÷ 217
    30337 ÷ 131072     		y = 0.231452941894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432334899902344 × 2 - 1) × π
    -0.135330200195312 × 3.1415926535     		Λ = -0.42515236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231452941894531 × 2 - 1) × π
    0.537094116210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.68733092972636
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42515236} λ = -0.42515236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68733092972636))-π/2
    2×atan(5.40503501713661)-π/2
    2×1.38785230270665-π/2
    2.77570460541329-1.57079632675     		φ = 1.20490828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42515236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.359436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20490828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.036159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56667 KachelY 30337 -0.42515236 1.20490828 -24.359436 69.036159
    Oben rechts KachelX + 1 56668 KachelY 30337 -0.42510443 1.20490828 -24.356690 69.036159
    Unten links KachelX 56667 KachelY + 1 30338 -0.42515236 1.20489113 -24.359436 69.035177
    Unten rechts KachelX + 1 56668 KachelY + 1 30338 -0.42510443 1.20489113 -24.356690 69.035177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20490828-1.20489113) × R
    1.71499999999103e-05 × 6371000     		dl = 109.262649999428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20490828-1.20489113) × R
    1.71499999999103e-05 × 6371000     		dr = 109.262649999428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42515236--0.42510443) × cos(1.20490828) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.357778699230081 × 6371000     		do = 109.252029887724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42515236--0.42510443) × cos(1.20489113) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.357794713957314 × 6371000     		du = 109.256920177341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20490828)-sin(1.20489113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357778699230081-0.357794713957314)×R²
    abs(-0.42510443--0.42515236)×1.60147272327826e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.60147272327826e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.60147272327826e-05×40589641000000     		ar = 11937.4334665588m²