Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56663 / 43987
↖ ↑ ↗
← N 50.814612°
W 24.370422°		 ← 192.98 m → N 50.814612°
W 24.367676°		 →
↑
192.91 m
↓
↑
192.91 m
↓
N 50.812877°
W 24.370422°		 ← 192.98 m →
37 229 m²		 N 50.812877°
W 24.367676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432308197021484 y=0.335597991943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432308197021484 × 217)
    floor (0.432308197021484 × 131072)
    floor (56663.5)     		tx = 56663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335597991943359 × 217)
    floor (0.335597991943359 × 131072)
    floor (43987.5)     		ty = 43987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56663 / 43987 ti = "17/56663/43987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56663/43987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56663 ÷ 217
    56663 ÷ 131072     		x = 0.432304382324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43987 ÷ 217
    43987 ÷ 131072     		y = 0.335594177246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432304382324219 × 2 - 1) × π
    -0.135391235351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.42534411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335594177246094 × 2 - 1) × π
    0.328811645507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.03299224991259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42534411} λ = -0.42534411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03299224991259))-π/2
    2×atan(2.8094598759697)-π/2
    2×1.22883931081494-π/2
    2.45767862162987-1.57079632675     		φ = 0.88688229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42534411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.370422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88688229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.814612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56663 KachelY 43987 -0.42534411 0.88688229 -24.370422 50.814612
    Oben rechts KachelX + 1 56664 KachelY 43987 -0.42529617 0.88688229 -24.367676 50.814612
    Unten links KachelX 56663 KachelY + 1 43988 -0.42534411 0.88685201 -24.370422 50.812877
    Unten rechts KachelX + 1 56664 KachelY + 1 43988 -0.42529617 0.88685201 -24.367676 50.812877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88688229-0.88685201) × R
    3.02799999999381e-05 × 6371000     		dl = 192.913879999606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88688229-0.88685201) × R
    3.02799999999381e-05 × 6371000     		dr = 192.913879999606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42534411--0.42529617) × cos(0.88688229) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.63183164803052 × 6371000     		do = 192.977648655238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42534411--0.42529617) × cos(0.88685201) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.63185511793994 × 6371000     		du = 192.98481696969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88688229)-sin(0.88685201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63183164803052-0.63185511793994)×R²
    abs(-0.42529617--0.42534411)×2.34699094197044e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34699094197044e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34699094197044e-05×40589641000000     		ar = 37228.7583917012m²