Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56660 / 44011
↖ ↑ ↗
← N 50.772945°
W 24.378662°		 ← 193.15 m → N 50.772945°
W 24.375915°		 →
↑
193.17 m
↓
↑
193.17 m
↓
N 50.771208°
W 24.378662°		 ← 193.16 m →
37 311 m²		 N 50.771208°
W 24.375915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.432285308837891 y=0.335781097412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.432285308837891 × 217)
    floor (0.432285308837891 × 131072)
    floor (56660.5)     		tx = 56660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335781097412109 × 217)
    floor (0.335781097412109 × 131072)
    floor (44011.5)     		ty = 44011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56660 / 44011 ti = "17/56660/44011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56660/44011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56660 ÷ 217
    56660 ÷ 131072     		x = 0.432281494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44011 ÷ 217
    44011 ÷ 131072     		y = 0.335777282714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432281494140625 × 2 - 1) × π
    -0.13543701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.42548792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335777282714844 × 2 - 1) × π
    0.328445434570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.03184176432171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42548792} λ = -0.42548792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03184176432171))-π/2
    2×atan(2.80622949147596)-π/2
    2×1.22847569214167-π/2
    2.45695138428333-1.57079632675     		φ = 0.88615506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42548792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.378662°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88615506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.772945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56660 KachelY 44011 -0.42548792 0.88615506 -24.378662 50.772945
    Oben rechts KachelX + 1 56661 KachelY 44011 -0.42543998 0.88615506 -24.375915 50.772945
    Unten links KachelX 56660 KachelY + 1 44012 -0.42548792 0.88612474 -24.378662 50.771208
    Unten rechts KachelX + 1 56661 KachelY + 1 44012 -0.42543998 0.88612474 -24.375915 50.771208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88615506-0.88612474) × R
    3.03200000000281e-05 × 6371000     		dl = 193.168720000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88615506-0.88612474) × R
    3.03200000000281e-05 × 6371000     		dr = 193.168720000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42548792--0.42543998) × cos(0.88615506) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.632395160986298 × 6371000     		do = 193.149760016756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42548792--0.42543998) × cos(0.88612474) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.632418647961062 × 6371000     		du = 193.156933543404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88615506)-sin(0.88612474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632395160986298-0.632418647961062)×R²
    abs(-0.42543998--0.42548792)×2.34869747640643e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34869747640643e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34869747640643e-05×40589641000000     		ar = 37311.1847641135m²